1、第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合学习要求:1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、符号语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的性质: 确定性 、互异性、无序性.提醒元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题.(2)集合与
2、元素的关系:若a属于集合A,则记作 aA ;若b不属于集合A,则记作 bA .(3)集合的表示方法: 列举法 、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 N N*或N+ Z Q R 提醒研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:集合x|f(x)=0x|f(x)0x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域
3、函数y=f(x)图象上的点集2.集合的基本关系文字语言记法集合的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 AB 或BA真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A AB 或BA相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素AB且BAA=B空集空集是 任何 集合的子集A空集是 任何非空 集合的真子集B(其中B)提醒(1)“”与“”的区别:ABA=B或AB,若AB和AB同时成立,则AB更准确.(2),0和的区别:是不含有任何元素的集合;0含有一个元素0;含有一个元素,且和都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空
4、集的可能性,如:若AB,则要考虑A=和A两种情况.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示 AB AB 若全集为U,则集合A的补集为 UA 图形表示意义AB= x|xA,或xB AB= x|xA,且xB UA= x|xU,且xA 知识拓展(1)子集的性质:AA,A,(AB)A,(AB)B.(2)交集的性质:AA=A,A=,AB=BA.(3)并集的性质:AB=BA,(AB)A,(AB)B,AA=A,A=A=A.(4)补集的性质:A(UA)=U,A(UA)=,U(UA)=A,AA=,A=A.(5)子集的个数:含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子
5、集.(6)等价关系:AB=AAB;AB=AAB.(7)U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)若x2,1=0,1,则x=0或1.()(4)对于任意两个集合A,B,(AB)(AB)恒成立.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教B版必修第一册P9练习BT1改编)若集合P=xN|x2 021,a=22,则()A.aPB.aPC.aPD.aP答案D3.(2020课标理,1,5分)已知集合U=-2,-1,0,1,2
6、,3,A=-1,0,1,B=1,2,则U(AB)=()A.-2,3B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,3答案A4.(易错题)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为.答案-32【易错点分析】本题容易因忽视集合中元素的互异性致误.5.(易错题)已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为.答案9【易错点分析】本题容易因对集合的表示方法理解不到位致误.集合的基本概念1.设a,bR,集合1,a+b,a=0,ba,b,则b-a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C由题意知a0,因为1,a+b,a=0,ba,b,所以a+b=0,则ba=-1,
7、所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故选C.2.若集合A=xR|ax2-3x+2=0中只有一个元素,则a=()A.92B.98C.0D.0或98答案D若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等的实根.当a=0时,x=23,符合题意;当a0时,由=(-3)2-8a=0得a=98.所以a=0或98.3.已知P=x|2xk,xN,若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围是.答案(5,6解析因为P中恰有3个元素,所以P=3,4,5,故k的取值范围是5k6.名师点评与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)用描述法表示集合时,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制
8、条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.(2)集合中元素的三个性质中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.集合的基本关系典例1已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围为.答案(-,3解析因为BA,所以若B=,则2m-1m+1,解得m2;若B,则2m-1m+1,m+1-2,2m-15,解得2m3.故符合题意的实数m的取值范围为m3.变式1本例中,若将“BA”变为“BA”,求m的取值范围.解析因为B A,所以若B=,则2m-1m+1,解得m2;若B,则2m-1m+1,m+1-2,2
9、m-1-2,2m-15,解得2m3.故m的取值范围为(-,3.变式2本例中,若将“BA”变为“AB”,求m的取值范围.解析若AB,则m+1-2,2m-15,即m-3,m3.所以m的取值范围为.变式3若将本例中的“集合A=x|-2x5”变为“集合A=x|x5”,试求m的取值范围.解析因为BA,所以当B=时,2m-1m+1,解得m5或m+12m-1,2m-14或m2,m4.综上可知,实数m的取值范围为(-,2)(4,+).名师点评根据两集合间的关系求参数的方法求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴、Venn图等来解决这类问题.1.(2020安徽安庆模
10、拟)已知集合A=1,3,a,B=1,a2-a+1,若BA,则实数a=()A.-1B.2C.-1或2D.1或-1或2答案C因为BA,所以必有a2-a+1=3或a2-a+1=a.若a2-a+1=3,则a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,A=1,3,-1,B=1,3,满足条件;当a=2时,A=1,3,2,B=1,3,满足条件.若a2-a+1=a,则a2-2a+1=0,解得a=1,此时集合A=1,3,1,不满足集合中元素的互异性,所以a=1应舍去.综上,a=-1或a=2.2.若集合A=1,2,B=x|x2+mx+1=0,xR,且BA,则实数m的取值范围为.答案-2,2)解析若B=,则
11、=m2-40,解得-2m2,符合题意;若1B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B=1,符合题意;若2B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B=2,12,不符合题意.综上所述,实数m的取值范围为-2,2).集合的基本运算角度一集合的运算典例2(1)(2020课标 理,1,5分)已知集合A=(x,y)|x,yN*,yx,B=(x,y)|x+y=8,则AB中元素的个数为() A.2B.3C.4D.6(2)(2020天津,1,5分)设全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,则A(UB)=()A.-3,3B.0,2C.-1,1D.-3,-2
12、,-1,1,3答案(1)C(2)C解析(1)由yx,x+y=8,x,yN*得x=1,y=7或x=2,y=6或x=3,y=5或x=4,y=4,所以AB=(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故AB中元素的个数为4,选C.(2)因为U=-3,-2,-1,0,1,2,3,B=-3,0,2,3,所以UB=-2,-1,1,又A=-1,0,1,2,所以A(UB)=-1,1,故选C.角度二利用集合的运算求参数典例3(1)(2020课标理,2,5分)设集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,则a=()A.-4B.-2C.2D.4(2)(2020河北邯郸二模)已知集合A=xZ
13、|x2-4x-52m,若AB中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.3,6)B.1,2)C.2,4)D.(2,4答案(1)B(2)C解析(1)由已知可得A=x|-2x2,B=x|x-a2,又AB=x|-2x1,-a2=1,a=-2.故选B.(2)集合A=xZ|x2-4x-52m=x|xm2,AB中有三个元素,1m22,解得2m4,实数m的取值范围是2,4).名师点评1.解决集合的基本运算问题一般应注意:先看元素组成,对有些集合是先进行化简,注意数形结合思想的应用.集合的运算常借助于数轴和Venn图解决.2.关于利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法:与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要
14、注意端点值能否取到;若集合中的元素能一一列举,则先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.1.(2020北京,1,4分)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|0x3,则AB=()A.-1,0,1B.0,1C.-1,1,2D.1,2答案D集合A与集合B的公共元素为1,2,由交集的定义知AB=1,2,故选D.2.已知集合A=x|1x3,B=x|2mx1-m,若AB=,则实数m的取值范围是.答案0,+)解析当2m1-m,即m13时,B=,符合题意;当2m1-m,即m13时,需满足m13,1-m1或m13,2m3,所以0m13.综上,实数m的取值范围是0,+).数学抽象集合的新定义问
15、题(1)定义集合的商集运算为AB=x|x=mn,mA,nB,已知集合A=2,4,6,B=x|x=k2-1,kA,则集合BAB中的元素个数为() A.6B.7C.8D.9(2)给定集合A,若对任意a,bA,都有a+bA,且a-bA,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:集合A=-4,-2,0,2,4为闭集合;集合A=n|n=3k,kZ为闭集合;若集合A1,A2为闭集合,则A1A2为闭集合.其中正确结论的序号是.答案(1)B(2)解析(1)由题意知,B=0,1,2,BA=0,12,14,16,1,13,则BAB=0,12,14,16,1,13,2,共有7个元素,故选B.(2)中,-4+(-2)=-
16、6A,所以不正确;中,设n1,n2A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2Z,则n1+n2A,n1-n2A,所以正确;中,令A1=n|n=3k,kZ,A2=n|n=2k,kZ,则A1,A2为闭集合,但3k+2k(A1A2),故A1A2不是闭集合,所以不正确.以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查学生对新定义的理解和解决新定义问题的能力,充分体现了数学抽象的核心素养.解决集合的新定义问题的两个切入点:正确理解创新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题,而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法
17、则、新运算等;合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件中发现可以使用集合性质的一些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.1.设数集M=x|mxm+34,N=x|n-13xn,且M,N都是集合U=x|0x1的子集,定义b-a为集合x|axb的长度,则集合MN的长度的最小值为.答案112解析在数轴上表示出集合M与N(图略),可知当m=0且n=1或n-13=0且m+34=1时,MN的长度最小.当m=0且n=1时,MN=x23x34,其长度为34-23=112;当n=13且m=14时,MN=x14x13,其长度为1
18、3-14=112.综上,MN的长度的最小值为112.2.用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=C(A)-C(B),C(A)C(B),C(B)-C(A),C(A)0,即a22时,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;当0,即-22a22时,方程x2+ax+2=0无实数解,当a=0时,B=0,C(B)=1,符合题意,当-22a0或0a22时,C(B)=2,不符合题意.综上,S=0,-22,22,故C(S)=3.A组基础达标1.(2020新高考,1,5分)设集合A=x|1x3,B=x|2x4,则AB=()A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x
19、|1x4答案C2.已知集合P=x|1x4,Q=x|2x3,则PQ=()A.x|1x2B.x|2x3C.x|3x4D.x|1x4答案B3.(2020重庆第八中学三模)若集合A=xN|(x-3)(x-2)6,则A中的元素个数为()A.3B.4C.5D.6答案B4.(2020黑龙江哈尔滨第三中学五模)已知集合A=x|y=lg(x-x2),B=x|x2-cx0,若AB,则实数c的取值范围为()A.(0,1B.1,+)C.(0,1)D.(1,+)答案B5.(2020湖南高三二模)设A=x|x1,B=x|x2-x-2-1B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|1x3x,B=(a,a+2,若AB=R,则实数
20、a的取值范围为()A.0,1)B.(1,2)C.(-,0D.(1,+)答案A8.(多选题)(2020福建厦门双十中学高三月考)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B=x|xA且xB,A*B=(A-B)(B-A)叫做集合的对称差,若集合A=y|y=(x-1)2+1,0x3,B=y|y=x2+1,1x3,则以下说法正确的是()A.A=-1,5B.A-B=1,2)C.B-A=(5,10D.A*B=(1,2(5,10答案BCA=y|y=(x-1)2+1,0x3=y|1y5,B=y|y=x2+1,1x3=y|2y10,故A-B=x|xA且xB=x|1x2,B-A=x|xB且xA=x|5x10.A*B=(
21、A-B)(B-A)=1,2)(5,10.9.(2020广东佛山二中高三月考)已知集合A=x|5x2+x-40,B=x|x13,则A(RB)=()A.13,45B.13,45C.-1,13D.-1,13答案AA=x|5x2+x-40=x|(5x-4)(x+1)0=-1,45,B=x|x13,RB=13,+,故A(RB)=-1,4513,+=13,45.故选A.10.(2020江苏,1,5分)已知集合A=-1,0,1,2,B=0,2,3,则AB=.答案0,2解析A=-1,0,1,2,B=0,2,3,AB=0,2.11.(2020江苏南京玄武高级中学模拟)已知全集M=x|2x2+5x0,xZ,集合N
22、=0,a,若MN,则a等于.答案-1或-2解析由2x2+5x0,解得-52x0,使得PR2|PP0|rM,则称集合M为“开集”.下列说法中正确的是() A.集合(x,y)|(x-1)2+(y-3)20是开集C.开集在全集R2上的补集仍然是开集D.两个开集的并集是开集答案AD集合(x,y)|(x-1)2+(y-3)20的区域上任意取点(x0,y0),以任意正实数r为半径的圆面,均不满足条件,故B错误;依题意可确定开集不含边界,所以开集在全集R2上的补集有边界,不是开集,故C错误;两个开集的并集满足开集的定义,故D正确.故选AD.13.(2020四川高三二模)已知集合A=1,3,m,B=1,m,若
23、AB=A,则m=()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3答案B因为AB=A,所以BA,所以m=3或m=m.若m=3,则A=1,3,3,B=1,3,符合题意.若m=m,则m=0或m=1.当m=0时,A=1,3,0,B=1,0,符合题意;当m=1时,A=1,3,1,B=1,1,显然不成立.综上m=0或m=3,故选B.14.(多选题)(2020山东济宁第一中学模拟)若集合A=x|sin 2x=1,B=y|y=4+k2,kZ,则下列结论正确的是()A.AB=BB.RBRAC.AB=D.RARB答案ABA=x|sin 2x=1=xx=k+4,kZ=xx=4k+4,kZ,B=yy=4+k2,kZ=yy
24、=2k+4,kZ,显然集合xx=4k+4,kZxx=2k+4,kZ,所以AB,则AB=B成立,所以选项A中结论正确.RBRA成立,所以选项B中结论正确,选项D中结论不正确.AB=A,所以选项C中结论不正确.15.(2020河南八市质检)在实数集R上定义运算:x*y=x(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)0的解集是集合x|-1x1的子集,则实数a的取值范围是()A.0,2 B.-2,-1)(-1,0C.0,1)(1,2D.-2,0答案D依题意可得x(1-x+a)0的解集为x|-1x1的子集,所以当a-1时,01+a1或-11+a0,即-1a0或-2a0的解集为空集,符合题意.所以-2a0.
25、故选D.16.设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k-1A且k+1A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有个.答案6解析符合题意的集合有1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共6个.C组思维拓展17.设x表示不大于x的最大整数,集合A=x|x2-2x=3,B=x|182x8,则AB=.答案-1,7解析不等式182x8的解集为(-3,3),所以B=(-3,3).若xAB,则x2-2x=3,-3x3,所以x的值只可能为-3,-2,-1,0,1,2.若x-2,则x2=3+2
26、x0,此不等式无解;若x=-1,则x2=1,得x=-1;若x=0,则x2=3,没有符合条件的解;若x=1,则x2=5,没有符合条件的解;若x=2,则x2=7,有一个符合条件的解,为x=7.因此,AB=-1,7.18.若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系:a=1;b1;c=2;d4中有且只有一个是正确的,则满足上述条件的一个有序数组(a,b,c,d)=,符合条件的全部有序数组(a,b,c,d)的个数是.答案(3,2,1,4)(答案不唯一,填一个正确的即可);6解析显然不可能正确,否则都正确.若正确,则a=2,b=3,c=1,d=4或a=3,b=2,c=1,d=4.若正确,则a=3,b=1,c=2,d=4.若正确,则a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2.所以符合条件的有序数组共有6个.