1、大题规范满分练(一)函数与导数综合问题1.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,xR.世纪金榜导学号(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证:当aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xR,知f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)-0+f(x)2-2ln 2+2a故f(x)的单调递减区间是(-,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为2-2ln 2+2a.(2)设g(x
2、)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln 2-1时,g(x)取最小值为g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R上单调递增.于是当aln 2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+),都有g(x)0.即ex-x2+2ax-10,故当aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.2.设函数f(x)=-kln x,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点.【解析】(1)由f(x)=-kln
3、 x(k0),得x0且f(x)=x-=.由f(x)=0,解得x=(负值舍去).f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如表:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+).f(x)在x=处取得极小值f()=,无极大值.(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以0,从而ke.当k=e时,f(x)在区间(1,上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,上的唯一零点.当ke时,f(x)在区间(0,上单调递减,且f(1)=0,f()=0对x恒成立,求整数a的最大值.【解析】(1)f=xex-aex=ex.令f=0,则x=a.当x时,f0;所以f的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)当x时,ex+a0恒成立,等价于当x时,a恒成立;即a对x恒成立.令g=,x,g=,令h=ex-2ex,x,h=ex-2e0,所以h=ex-2ex在上单调递增.又因为h=e2-4e0,所以g在上有唯一零点x0,且=2ex0,x0,所以g在上单调递减,在上单调递增,所以g=g=x0,所以ax0,故整数a的最大值为2.
