1、单元评估检测(一)(第一、二章)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 A=x|x4,B=,则 AB=()A.B.C.x|4x6 D.【解析】选 A.AB=x|x4=.2.已知 f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x(4,+)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)【解析】选 B.由图象(画图略)知,当 x(4,+)时,增长速度由大到小依次为 g(x)f(
2、x)h(x).3.(2020南京模拟)函数 f(x)=的图象大致是()【解析】选 C.因为 xR,且 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数,故排除 B 项;又因为 x1 时,f(x)0;x+时,f(x)0,所以排除 A,D 项.4.(2020潍坊模拟)已知 f(x)是定义在-10,10上的奇函数,且 f(x)=f(4-x),则函数 f(x)的零点个数至少为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选 C.因为 f(x)是定义在-10,10上的奇函数,所以 f(0)=0,且零点关于原点对称,所以零点个数为奇数,排除选项 B,D,又因为 f(x)=f(4-x),所以 f(0)=f(4)=0
3、,f(-4)=-f(4)=0,所以 f(-4)=f(4+4)=f(8)=0,f(-8)=-f(8)=0,所以 f(x)的零点至少有 0,4,8,5 个,故选 C.5.(2020武汉模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2+m),则 a,b,c 的大小关系为()A.abc B.acb C.cab D.cba【解析】选 B.因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 2|-x-m|-1=2|x-m|-1,所以|-x-m|=|x-m|,(-x-m)2=(x-m)2,所以 mx=0,所以
4、 m=0,所以 f(x)=2|x|-1,所以 f(x)在0,+)上单调递增,并且 a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(2);因为0log232log25,所以 acb.6.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流 x(0 x100,xN*)人去进行新开发的产品 B 的生产.分流后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要保证产品 A的年产值不减少,则最多能分流的人数 是()A.15 B.16 C.17 D.18【解析】选 B.
5、由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元),分流 x 人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则 解得 02时,f(x)=log2(x-2),则 f(x-1)0 的解集是()A.(-,-2)(3,4)B.(-,-3)(2,3)C.(3,4)D.(-,-2)【解析】选 A.画出函数图象如图所示,由图可知,x-1-3 或 2x-10 时,f(x)=ln x 为增函数.三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知数列an的前 n 项和 Sn=Aqn+B(q0),则“A=-B”是“数列an为等比数列”的_条件.【解析】若
6、A=B=0,则 Sn=0,数列an不是等比数列.如果an是等比数列,由 a1=S1=Aq+B 得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,a1a3=,从而可得 A=-B,故“A=-B”是“数列an为等比数列”的必要不充分条件.答案:必要不充分 14.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,BC 平行于 x 轴,顶点 A,B,C 分别在函数y1=3logax,y2=2logax,y3=logax(a1)的图象上,则实数 a 的值为_.【解析】依题设 B(xB,2logaxB),C(xC,logaxC),又 BCx 轴,所以 xC=.正方形边长=|BC|=xC-xB=-x
7、B=2,所以 xB=2.又 ABx 轴,所以 A(2,3loga2),|AB|=3loga2-2loga2=loga2=2,故 a=.答案:15.已知函数 f(x)=ln(3-x),则不等式 f(lg x)0 的解集为_.【解析】因为 f(x)=ln(3-x),则 解得 0 x0 等价于 解得 0 x0,所以 解得 1x100,所以解集为(1,100).答案:(1,100)16.设函数 f(x)=则 f(f(e)=_,函数 y=f(x)-1 的零点为_.【解析】因为 f(x)=所以 f(e)=ln e=1,f(f(e)=f(1)=tan 0=0,若 01,f(x)=1ln x=1x=e.答案:
8、0 e 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)已知集合 A=x|33x27,B=x|log2x1.(1)求(RB)A.(2)已知集合 C=x|1x1=x|x2,(1)RB=x|x2,所以(RB)A=x|x2x|1x3=x|x3.(2)当 C=时,a1,满足 CA;当 C 时,由题意得,所以 10,a1)的图象过点A,B.(1)求 f(x).(2)若不等式+-m0 在 x1,+)时恒成立,求 m 的取值范围.【解析】(1)由已知得 解得所以 f(x)=.(2)+-m=2x+3x-m0,所以 m2x+3x,因为 y=2x+3
9、x在1,+)上为增函数,所以 y 的最小值为 5,所以 m5.20.(12 分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当 S 中 x%(0 x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当 x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g(x)的表达式;讨论 g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知,
10、当 30 x40,即 x2-65x+9000,解得 x45,所以 x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当 0 x30 时,g(x)=30 x%+40(1-x%)=40-;当 30 x100 时,g(x)=x%+40(1-x%)=-x+58;所以 g(x)=当 0 x32.5 时,g(x)单调递减;当 32.5x0.(2)若关于 x 的方程 f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0 的解集中恰有一个元素,求 a 的取值范围.(3)设 a0,若对任意 t,函数 f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过 1,求 a 的取值范围.【解析】(1)
11、由 log20,得+51,解得 x(0,+).(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5,即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.当 a=4 时,x=-1,经检验,满足题意.当 a=3 时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当 a3 且 a4 时,x1=,x2=-1,x1x2.若 x1是原方程的解,则+a0,即 a2;若 x2是原方程的解,则+a0,即 a1.由题意知 x1,x2只有一个为方程的解,所以或于是满足题意的 a(1,2.综上,a 的取值范围为(1,23,4.(3)易知 f(x)在(0,+)上单调递减,所以函数 f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值分别为 f(t),f(t
12、+1).f(t)-f(t+1)=log2-log21,即 at2+(a+1)t-10 对任意 t恒成立.因为 a0,所以函数 y=at2+(a+1)t-1 在区间上单调递增,当 t=时,y 有最小值 a-.由 a-0,得 a.故 a 的取值范围为.22.(12 分)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时,f(x)0,且f(1)=-2.(1)判断 f(x)的奇偶性.(2)求 f(x)在区间-3,3上的最大值.(3)解关于 x 的不等式 f(ax2)-2f(x)f(ax)+4.【解析】(1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0),即 f(0
13、)=0.取 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 恒成立,故函数 f(x)为奇函数.(2)任取 x1,x2(-,+),且 x10.所以 f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,所以 f(x2)f(x2).所以 f(x)在(-,+)内是减函数.所以对任意 x-3,3,恒有 f(x)f(-3).因为 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6,所以 f(-3)=-f(3)=6,所以 f(x)在-3,3上的最大值为 6.(3)因为 f(x)为奇函数,所以整理原不等式得 f(ax2)+2f(-x)f(ax)+f(-2).所以 f(ax2-2x)ax-2,即(ax-2)(x-1)0.所以当 a=0 时,xx|x1;当 a=2 时,xx|x1,且 xR;当 a0 时,x1;当 0a2 时,x;当 a2 时,x1.综上所述,当 a=0 时,原不等式的解集为 x|x1;当 a=2 时,原不等式的解集为x|x1,且 xR;当 a0 时,原不等式的解集为;当 0a2 时,原不等式的解集为.