1、单元质检卷二函数与基本初等函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是x|xR,x2,则函数f(x)的值域为()A.(-,-2)(-2,+)B.(-,2)(2,+)C.(-,-2)D.(-2,+)2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=()A.1B.16C.32D.653.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-62x+8的所有零点的和等于()A.8B.6C.3D.24.(2021湖南师大附中高三期
2、中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于()A.-2B.2C.-1D.15.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+ex+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是()A.f-13f14f12B.f14f-13f12C.f12f-13f14D.f12f14f-136.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间0,3上的最小值为-2,则实数a的值为()A.-2B.-2或115C.-2或1D.27.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相
3、补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f(x)满足f(4-x)=f(x),且当x0,2时的解析式为f(x)=-log2(2-x),0x1,log2x,1x2,则函数y=f(x)在0,4上的图像与直线y=-1围成的封闭图形的面积是()A.2B.2log23C.4D.4log238.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(4-x),则()A.f(x)的图像关于直线x=3对称B.f(x)的图像关于点(3,0)对称C.f(x)在(2,4)上单调
4、递增D.f(x)在(2,4)上单调递减二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021山东宁津高三月考)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数是()A.y=x3B.y=ln1|x|C.y=2-|x|D.y=cos x10.(2021湖南衡阳高三期末)定义一种运算:ab=a,ab,b,a0且a1)的图像如图,则下列四个函数图像与函数解析式对应正确的是()12.(2021江苏徐州高三期末)设函数f(x)=sinxx2-x+1,则()A.f(x)的最大值
5、为43B.|f(x)|5|x|C.曲线y=f(x)存在对称轴D.曲线y=f(x)存在对称中心三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若axay,ay”是假命题的一组整数x,y的值依次为.14.函数f(x)=ax+5-2(a0,a1)的图像恒过定点P,则点P的坐标为.15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21-x的图像与函数y=4sin x(-4x6)的图像所有交点的横坐标之和为.16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a1.若x11,3,x21,3,使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成
6、立,则实数a=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x1,2时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若AB=A,求实数k的取值范围.18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)=log14(x+3),-31,(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为-1,+),求实数a的取值范围.19.(12分)已知命题p:函数f(x
7、)=|x+2c|在-1,+)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a0)有零点.(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=logax+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.(1)指出函数g(x)=f=logax+bx-b的定义域与单调性(不用证明),
8、并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.892)?(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)|x-a|.(1)若a=2,求f(x)在0,52上的最大值;(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a(-1,2,使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f(x)=loga(ax+1)+b
9、x(a0且a1,bR)是偶函数,函数g(x)=ax(a0且a1).(1)求实数b的值;(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,求实数a的取值范围.单元质检卷二函数与基本初等函数1.A解析:由x+a0得x-a,因此a=-2,所以f(x)=-2-4x-2,由于4x-20,因此-2-4x-2-2,即函数f(x)的值域为(-,-2)(-2,+),故选A.2.A解析:由于2a=3b=6,所以a=log26,b=log36,因此1a=log62,1b=log63,则1a+1b=1,于是1a2+1ab+1b=1a1a+1b+1b=1a+1b=1,故选A.3.C解析:令y=4x-62x+8=0得(2
10、x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x1=2,x2=1,故零点之和等于3.4.C解析:若f(x)是R上周期为5的奇函数,则f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),所以f(-12)=-f(12)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(-12)-f(4)=-2-(-1)=-1,故选C.5.C解析:由f(-x)=ln|-x|+e-x+e-(-x)=ln|x|+ex+e-x=f(x)且f(x)的定义域为(-,0)(0,+),即f(x)为偶函数,所以当x0时,f(x)=lnx+ex+e-x,则f(x)=1x+e2x-1ex0,即f(x)在
11、(0,+)上单调递增,所以f-13=f13,而141312,故f14f-13f12,故选C.6.D解析:函数f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2-a2+a,当a0时,函数在区间0,3上单调递增,函数的最小值f(0)=a=-2,符合题意;当0a3时,函数在区间0,3上的最小值f(a)=-a2+a=-2,解得a=-1(舍)或a=2,所以a=2;当a3时,函数在区间0,3上单调递减,函数的最小值f(3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不合题意,综上可知a=2,故选D.7.C解析:由题意知f(x)关于直线x=2对称,而f(x)=-log2(2-x),0x1,log2x,1x2,且f(0)=f
12、(4)=-1,f(2)=1,所以在0,4上函数f(x),f(4-x)及y=-1的图像如图.将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域,可得到由x轴,y轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f(x)在0,4上的图像与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C.8.A解析:f(x)的定义域为(2,4).对于A,因为f(x+3)=ln(x+1)+ln(1-x)=f(3-x),所以f(x)的图像关于x=3对称,因此A选项正确;对于B,由A知f(x+3)-f(3-x),所以f(x)的图像不关于点(3,0)对称,因此B选项错误;对于C,f(x)=ln(x-2)+
13、ln(4-x)=ln(-x2+6x-8),函数y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f(x)在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C选项,D选项错误,故选A.9.BC解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln1|-x|=ln1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+)上,y=-lnx,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2-|-x|=2-|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+)上,y=2-x,函数单调递减,满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+)上不单调,不满足题意,故选BC.10.ACD解析:由题意,
14、f(x)=(5+2x-x2)|x-1|=5+2x-x2,-1x3,|x-1|,x3,作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,故A正确;函数f(x)的图像与直线y=5有四个公共点,故B错误;函数f(x)的单调递减区间是(-,-1和1,3,故C正确;函数f(x)的最小值是2,故D正确,故选ACD.11.ABD解析:由图可得a1=2,即a=2,y=a-x=12x单调递减且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+)上单调递减,在(-,0)上单调递增,故B正确;y=a|x|=2|x|=2x,x0,2-x,x0为偶函数,结合指
15、数函数图像可知不符合题意,故C错误;y=|logax|=|log2x|,根据“上不动、下翻上”可知D正确,故选ABD.12.ABC解析:对于选项A,因为sinx-1,1,x2-x+1=x-122+3434,所以f(x)=sinxx2-x+1134=43,故A正确;对于选项B,由于f(x)x=sinxx(x-12)2+3443ay,a0时,可得1xy;当x,y异号时,y0x,故取整数x,y满足y0x即可.14.(-5,-1)解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a0-2=-1,即f(-5)=-1,故函数图像恒过定点(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).15.12解析:设f(x)=21-x
16、,g(x)=4sinx,当x1时,f(2-x)=21-(2-x)=2x-1=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)=21-x的图像关于点(1,0)中心对称,g(2-x)=4sin(2-x)=4sin(2-x)=-4sinx=-g(x),即g(2-x)+g(x)=0,所以,函数g(x)=4sinx的图像也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21-x与函数y=4sinx(-4x6)的图像如图:由图像可知,两个函数图像共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为62=12.16.43解析:x11,3,x21,3,使得f(x1)f(x2)
17、=g(x1)g(x2)成立,即为g(x1)f(x1)=f(x2)g(x2),即ax1-1=1ax2-1成立.由于a1,可得ax1-1在1,3上的值域为a-1,3a-1,1ax2-1在1,3上的值域为13a-1,1a-1,由题意可得在1,3内,ax1-1的值域为1ax2-1的值域的子集,因此13a-1a-13a-11a-1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f(x)=x-2在(0,+)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f(x)=x2在(0,+)上单调递增,满足题意.故m的值为0.(2)由(1)知f(x)
18、=x2,在区间1,2上,f(x),g(x)均单调递增,所以A=1,4,B=2-k,4-k,因为AB=A,得到BA,所以2-k1,4-k4,解得0k1.故实数k的取值范围为0,1.18.解(1)当x(-3,1时,f(x)=log14(x+3)单调递减,当x(1,+)时,f(x)=12x+a单调递减.所以要使函数f(x)在定义域上是单调函数,应满足log14(1+3)121+a,即a+12-1,解得a-32.故实数a的取值范围是-,-32.(2)当x(-3,1时,f(x)=log14(x+3)-1,+),当x(1,+)时,f(x)=12x+aa,a+12,由于函数f(x)的值域为-1,+),所以a
19、,a+12-1,+),因此a-1,即实数a的取值范围是-1,+).19.解由于f(x)=|x+2c|=x+2c,x-2c,-x-2c,x2a,解得0a0,又因为x1且b1,解得xb,所以函数g(x)的定义域为(b,+).令t=x+bx-b(xb),则f=logat.因为t=x+bx-b=1+2bx-b,所以当x(b,+)时,函数t=x+bx-b单调递减;又因为a1,所以f=logat在(0,+)上单调递增,故f=logax+bx-b在定义域(b,+)上是减函数.其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.将f=0.89,x=3.15,
20、a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15-b,所以3.15+b3.15-b=2.170.892b3.15-6.33=1.05.故该地区的最低保障收入系数为1.05.(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f(1,2),即1logax+bx-b1,所以ax+bx-ba2,即a-12bx-bb,a1,所以1a2-1x-b2b1a-1,解得a2b+ba2-1xab+ba-1.即该地区收入均值系数x的取值范围是a2b+ba2-1,ab+ba-1.21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x0,2,则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-322+14,所以f(
21、x)max=f32=14.若x2,52,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-322-14,f(x)在区间内单调递增,所以f(x)max=f52=34.综上f(x)在0,52上的最大值为34.(2)由题设,令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.所以x|x-a|-(x-a)=m在a(-1,2上有三个根,即h(x)=x2-(a+1)x+a,xa,-x2+(a-1)x+a,xa与y=m有三个交点.当-1a1时,h(x)在-,a-12,a+12,+上单调递增,在a-12,a+12上单调递减,此时,ha+12mha-12,可得-(a-1)24m(a+1)24,故-1m1;当1a2时,h(x)在-
22、,a-12,(a,+)上单调递增,在a-12,a上单调递减,此时,0mha-12,可得0m(a+1)241,94,故0m94.综上,实数m的取值范围为-1,94.22.解(1)因为f(x)为偶函数,所以xR,有f(-x)=f(x).即loga(a-x+1)-bx=loga(ax+1)+bx在R上恒成立.所以loga(a-x+1)-loga(ax+1)=2bx在R上恒成立.所以2bx=-x,故b=-12.(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,所以loga(ax+1)-x=a有解,即loga1+1ax=a有解.令p(x)=loga1+1ax,则函数y=p(x)图像与直线y=a有交点.当0a1,p(x)=loga1+1ax1时,因为1+1ax1,p(x)=loga1+1ax0,由loga1+1ax=a有解可知a0,所以a1.故a的取值范围是(1,+).