1、重庆市第一中学校2021届高三数学上学期第三次月考试题本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上写在本试卷上及草稿纸上无效3考试结束后，将答题卡交回一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项1已知复数，则复数z的虚部是（ ）A B1 Ci D2已知集合，则A的真子集共有（ ）个A3 B4 C6 D73已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ）A B C D4为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等
2、这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍（当较小时，）A1.22 B1.23 C1.26 D1.275向量满足，与的夹角为，则的取值范围为（ ）A B C D6已知三棱锥，过点P作平面，O为中的一点，且，则点O为的（ ）A垂心 B内心 C重心 D外心7设，则（ ）A B C D8已知三棱锥的四个顶点均在同一
3、个确定的球面上，且，若三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的半径为（ ）A2 B3 C4 D5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则10下列函数中，在内是减函数的是（ ）A B C D11下列关于函数的图像或性质的说法中，正确的为（ ）A函数的图像关于直线对称B将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为C函数在区间上单调递增D若，则12定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下
4、列不等式中一定成立的有（ ）A BC D三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上13已知球O的体积为，则球O的表面积为_14已知向量不共线，若与平行，则的值为_15一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是_16已知等比数列的公比为q，且，则q的取值范围为_；能使不等式成立的最大正整数_（注：前一空2分，后一空3分）四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题
5、目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程17（本小题满分10分）在四棱柱中，底面是等腰梯形，M是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值18（本小题满分12分）已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列（1）证明数列等比数列；（2）已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！9（本小题满分12分）已知椭圆C的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为且（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程20（本小题满分12分）已知，记的内
6、角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求的取值范围；（2）当，且取（1）中的最大值时，求的面积21（本小题满分12分）在直三棱柱中，D，分别是线段的中点，过线段的中点P作的平行线，分别交，于点M，N（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值22（本小题满分12分）已知其中常数（1）当时，求在上的最大值；（2）若对任意均有两个极值点，（）求实数b的取值范围；（）当时，证明：2020年重庆一中高2021届高三上期第三次月考数学测试试题 参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9ABD 10ABC 11AD 12ABC三、填空题13 14 15228 16 4039四、解
7、答题17解：（1）证明：因为四边形是等腰梯形，且，所以又由M是的中点，因此且连接，在四棱柱中，因为，可得，所以四边形为平行四边形因此，又平面，平面，所以平面 5分（2）因为，所以异面直线与成的角，即为与相交所成的直角或锐角，在中，故，由余弦定理可得：，故异面直线和余弦值为 10分18解：（1）由条件可知， 2分即，且 4分是以为首项，为公比的等比数列， 6分（2）条件：， 8分 10分利用错位相减法可求得 12分条件： 8分 10分利用错位相减法可求得 12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19解（1）易知椭圆C的方程为 4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
8、当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，得， 6分设，则， 8分即，得 10分故直线l的方程为，或 12分20解：（1） 4分因为B为三角形的内角，所以所以，所以 5分（2） 7分由正弦定理得： 9分若，则， 11分若，则， 12分21（1）证明：因为，D是的中点，所以，因为，所以M，N分别为，的中点所以因为平面，平面，所以又因为，在平面内，且与相交，所以平面，又平面，所以平面平面； 5分（2）设如图，过作平行于，以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（点O与点重合）则因为P为的中点，所以M，N分别为的中点，故，所以 6分设平面的法向量为，则即故有从而取，则，所以是平面的一个法向量 8分设平面的法向量为，则即故有从而取，则，所以是平面的一个法向量 10分设二面角的平面角为，又为锐角，则故二面角的余弦值为 12分22解：（1），在上单增，且，在上单减， 3分（2）（），在单减，单增，有两个极值点，对任意都成立，设，在单增，单减，又， 7分（）当时，可证在单减，在单增，是两根，且设则在单增，又在上单增，即，又在上单减，令，在单增，故在单增又x， 12分