1、2.3 映 射 基础认知自主学习 映射的有关概念(1)映射与函数的关系是什么？提示：函数一定是映射，而映射不一定是函数映射是函数概念的推广(2)映射与一一映射的区别是什么？提示：映射是以集合 A 到 B 的对应，可以是一对一，或多对一，B 中可有元素在A 中没有像与之对应；而一一映射是一一对应，即 A 中的每个原像在 B 中都有唯一的像与之对应，而 B 中的像在 A 中都有唯一的原像1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)映射定义中的两个非空集合 A 和 B 一定是数集()提示：不一定，也可以是点集，或由图形组成的集合等.(2)在映射 f：AB 中，B 中的元素都有原像与之对应()提示：不一
2、定，如映射 f：AB 如图所示：B 集合中的元素 5，在 A 集合中无原像与之对应(3)从集合 A 到集合 B 的映射，与从集合 B 到集合 A 的映射是同一个映射()提示：A，B 是有先后次序的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射一般是不同的，即映射具有方向性 2在映射 f：AB 中，AB(x，y)|x，yR，且 f：(x，y)(2xy，x2y)，则元素(3，1)在 f 的作用下的原像为()A(0，1)B(1，1)C25，15D(7，1)【解析】选 B.设元素(3，1)在 f 的作用下的原像为(x，y)，因为 f：(x，y)(2xy，x2y)，所以2xy3，x2y1，解得x1，y1，即
3、原像为(1，1).3设集合 Aa，b，B0，1，则从 A 到 B 的映射共_个【解析】从 A 到 B 的映射有 4 个，如图所示答案：4能力形成合作探究类型一 函数、映射、一一映射的判断(逻辑推理)1下列从集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是()【解析】选 D.如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射故选项 D 构成映射，对于选项 A，不能构成映射，因为前边的集合中的元素 2 在后一个集合中没有元素和它对应，故此对应不是映射对于选项 B，前面集合中 3，4 在后一个集合中对应两个数 3，4，故此对应不是映射对于选项 C，前面集合中 5 在后
4、一个集合中对应两个数 1，4，所以 C 是错误的2下列对应是集合 M 到集合 N 的一一映射的是()AMNR，f：xy1x，xM，yNBMNR，f：xyx2，xM，yNCMNR，f：xy1|x|x，xM，yNDMNR，f：xyx3，xM，yN【解析】选 D.用排除法，A 中集合 M 的元素 0，在 f 下，N 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 中集合 M 的元素1，在 f 下的像都是 1，故排除 B；C中，负实数及 0 在 f 下没有元素和它对应，应排除3判断下列对应是否是映射，是否是函数(1)AN，BN*，f：xy|x1|，xA，yB.(2)AR，B1，2，f：xy1（x0），2
5、（x0）.(3)A平面 m 内的三角形，B平面 m 内的圆，对应关系是“作三角形的外接圆”【解析】(1)例如 1A，在 f 作用下，1|11|0B，所以不是映射，故也不是函数(2)对于 A 中元素 x0 时与 B 中的元素 1 对应，而当 x2，故 A 错；B、C、D 三项经检验都符合映射条件类型二 像与原像、映射的个数问题(数学抽象)角度 1 像与原像问题【典例】在映射 f：AB 中，f：(x，y)(xy，xy)，则与 A 中的元素(1，2)对应的 B 中的元素为()A(1，3)B(3，1)C(1，3)D(3，1)【思路导引】首先根据映射的定义以及其对应的法则，结合坐标满足的条件，列出相应的
6、方程组求解即得结果【解析】选 B.因为映射 f：AB 中，f：(x，y)(xy，xy)，所以当 x1，y2 时，xy3，xy1，故与 A 中的元素(1，2)对应的 B 中的元素为(3，1).将本例中条件改为：设 f，g 都是映射，其对应法则如表(从上到下)：映射 f 的对应法则是表 1：表 1原像1234像3421映射 g 的对应法则是表 2：表 2原像1234像4312则与 f(g(1)相同的是()Ag(f(1)Bg(f(2)Cg(f(3)Dg(f(4)【解析】选 A.根据表中的对应关系得，f(g(1)f(4)1，g(f(1)g(3)1；g(f(2)g(4)2；g(f(3)g(2)3；g(f
7、(4)g(1)4.角度 2 映射的个数问题【典例】已知集合 Mx，y，z，N1，1，则从集合 M 到集合 N 的映射中，满足 f()x1 的映射有_个()A3 B4 C5 D6【思路导引】在两个集合中，集合 M 有三个元素，其中一个已经确定对应关系，剩下两个元素，分别和集合 N 中的两个元素对应，得到共有 4 种不同的结果【解析】选 B.因为满足 x 对应的元素是 1，集合 M 中还有两个元素 y 和 z，y 可以和1 对应，也可以和 1 对应，z 可以和1 对应，也可以和 1 对应，每个元素有两种不同的对应，所以共有 224 种结果1求像与原像的两种情况及解法(1)原像像：若已知原像 a，求
8、其在 B 中的像，这时只要将 a 代入对应关系 f 求出结果即可(2)像原像：若已知 B 中的像 b，求其在 A 中的原像 a，这时需构造方程(组)进行求解，需注意解得的结果可能有多个提醒：在解题过程中，常因混淆“像”与“原像”的概念导致解题错误2一般地，若 Aa1，a2，an，Bb1，b2，bm，由不完全归纳法(即由特殊到一般进行归纳猜想)，可知映射 f：AB 共有 mn 个，映射 f：BA 共有nm 个点(x，y)在映射 f 下的像是(2xy，2xy)，则点(4，6)在映射 f 下的原像是()A52，1B1，52C52，12D12，52【解析】选 A.由已知得2xy4，2xy6，解得x52
9、，y1，因为x，y在映射 f 下的像是2xy，2xy，所以4，6在映射 f 下的原像是52，1.1对于映射 f：AB，AB（x，y）|x，yR，且 f：x，yxy，xy，则与 B 中的元素3，1对应的 A 中的元素为()A1，2B1，3C4，2D3，1学情诊断课堂测评【解析】选 A.由题意，f：AB，且映射 f：x，yxy，xy，令xy3，xy1，解得x1，y2，所以与 B 中的元素3，1对应的 A 中的元素为1，2.2设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f：AB，把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2nn，则在映射 f 下，像 20 的原像是()A2 B3 C4 D
10、5【解析】选 C.因为 202nn，分别将选择项代入检验，知当 n4 时成立3为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文 a，b，c，d 对应密文 a2b，2bc，2c3d，4d，例如，明文 1，2，3，4 对应密文 5，7，18，16.当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密得到的明文为()A7，6，1，4 B6，4，1，7C4，6，1，7 D1，6，4，7【解题指南】密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可【解析】选 B.当接收方收到密文 14，9，23，28 时，有a2b14，2bc9，2c3d23，4d28，解得a6，b4，c1，d7，解密得到的明文为选项 B.