1、第1讲集合及其运算1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同AB且BAAB子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB(B)3集合的基本运算图形符号并集ABx|xA或xB交集
2、ABx|xA且xB补集UAx|xU且xA1若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.2AA，AAA，A(AB)，B(AB).3A，AAA，ABA，ABB.4ABABAB.5ABABAABB(UA)(UB)A(UB).6A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.7(UA)(UB)U(AB)，(UA)(UB)U(AB).8如图所示，用集合A，B表示图中、四个部分所表示的集合分别是AB，A(UB)，B(UA)，U(AB).9card(AB)card(A)card(B)card(AB).1(2021全国甲卷)设集合Mx|0x4，N，则MN()A B
3、Cx|4x5 Dx|0x5答案B解析由已知得MN，故选B.2已知集合A，B均为全集U1，2，3，4的子集，且U(AB)4，A(UB)3，则B()A1，2 B1，2，4C2，4 D答案A解析结合Venn图(如图)可知B1，2，故选A.3已知集合A0，a，Bx|1x2，且AB，则a可以是()A1 B0 C1 D2答案C解析A0，a，Bx|1x2，且AB，1a2且a0，a可以是1，故选C.4已知集合A(x，y)|yx1，xR，集合B(x，y)|yx2，xR，则集合AB的子集个数为()A1 B2 C3 D4答案D解析因为直线yx1与抛物线yx2有2个交点，所以集合AB有2个元素，故AB的子集有4个，故
4、选D.5已知集合AxZ|(x2)(x5)0，B3，6，则下列结论成立的是()ABA BABACABB DAB3答案D解析由题意知A2，3，4，5，故A错误；AB2，3，4，5，6A，故B错误；AB3，故C错误，D正确.6(2021福建泉州质量检测(三)已知集合A(x，y)|xy8，x，yN*，B(x，y)|yx1，则AB中元素的个数为()A2 B3 C4 D5答案B解析AB中的元素满足且x，yN*，由xy82x1，可得x且xN*，故AB中的元素为(1，7)，(2，6)，(3，5)，共3个故选B.考向一集合的基本概念例1(1)已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1
5、B3 C5 D9答案C解析当x0时，若y0，则xy0；若y1，则xy1；若y2，则xy2.同理可得，当x1时，xy1，0，1；当x2时，xy2，1，0.综上，根据集合中元素的互异性，可知B中元素有2，1，0，1，2，共5个(2)已知a，bR，若a2，ab，0，则ab为()A1 B0 C1 D1答案C解析由已知得a0，则0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故ab1.故选C.解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件解本例(1)时要注意，集合B的代表元素是xy.(2)本例(2)中参数的确定，往
6、往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解同时注意对元素互异性的检验.1.(2021江西九所重点中学高三3月联考)已知集合AxN|1x3，解得k8，故选D.2若集合A1，3，集合Bx|x2axb0，且AB，则a ，b 答案23解析AB，Bx|x2axb01，3，a2，b3.考向二集合间的基本关系例2(1)已知集合Ax|1x2，Bx|1x2m1，即m2时，符合题意当B时，有解得0m.综上，实数m的取值范围是ma，集合B1，1，2，若ABB，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，1)C(1，) D(，1)答案D解析ABB，BA.利用数轴可知a0，Bx|2x2，则如图所示阴影部分所表示的集合
7、为()Ax|2x4 Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2答案D解析依题意得Ax|x4，因此RAx|1x4，题中的阴影部分所表示的集合为(RA)Bx|1x2，故选D.角度利用集合运算求参数例4(1)设集合A0，1，集合Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1 Ca0 Da0答案B解析由AB，可得0B，且1B，a1，故选B.(2)(2022云南昆明高三摸底)集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为()A0 B1 C2 D4答案D解析根据并集的概念，可知a，a24，16，故a4.故选D.利用集合的运算求参数的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数
8、轴解决，要注意端点值的取舍(2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).7.设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是()A.12Ca1 Da1答案D解析因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a1.故选D.8已知集合Py|y2y20，Qx|x2axb0，若PQR，PQ(2，3，则ab 答案5解析Py|y2y20y|y2或y1，PQR，PQ(2，3，Qx|1x3，1，3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系，得a132，b3，ab5.自主培优(一)集合的新
9、定义问题1已知集合AxN|x22x30，B1，3，定义集合A，B之间的运算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，则A*B中的所有元素之和为()A15 B16 C20 D21答案D解析由x22x30，得(x1)(x3)0，即1x3，故集合A0，1，2，3A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，A*B中的元素有011，033，112，134，213(舍去)，235，314(舍去)，336.A*B1，2，3，4，5，6，A*B中的所有元素之和为21.2(2020浙江高考)设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：对于任意x，yS，若xy，都有xyT；对于任意x，yT，
10、若x0，即a2时，易知0，a均不是方程x2ax20的根，故C(B)4，不符合题意；当0，即2a2时，方程x2ax20无实数解，当a0时，B0，C(B)1，符合题意；当2a0或0a2时，C(B)2，不符合题意综上，S0，2，2，故C(S)3.1下列各组集合中表示同一集合的是()AM(3，2)，N(2，3)BM2，3，N3，2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2，3，N(2，3)答案B解析由集合中元素的无序性易知2，33，2故选B.2(2021北京高考)已知集合Ax|1x1，Bx|0x2，则AB()A(1，2) B(1，2C0，1) D0，1答案B解析由题意可得，ABx|12，Bx|x2m，
11、mR且ARB，那么m的值可以是()A1 B2 C3 D4答案A解析由Bx|x0，则AB()A.x|x0Bx|x1Cx|x1x|x0D答案A解析由A中的不等式得0，即Ax|x0，由B中的不等式得lg x0lg 1，所以x1，即Bx|x1，则ABx|x0，故选A.8已知集合A，则满足AB1，0，1的集合B的个数是()A2 B3 C4 D9答案C解析解方程x0，得x1或x1，所以A1，1，又AB1，0，1，所以B0或0，1或0，1或0，1，1，共有4个，故选C.9(2021湖北四校联考)已知集合AxN|x16，Bx|x25x40，则A(RB)的真子集的个数为()A1 B3 C4 D7答案B解析A0，
12、1，2，Bx|1xa，则下列结论不可能成立的是()AAB BBACA(RB)R DARB答案D解析由得A1，2)(2，)，B(a，)，RB(，a，A，B，C都有可能成立，对于D，不可能有ARB.11(2022广西南宁模拟)设常数aR，集合Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1，若ABR，则a的取值范围为()A.(，2) B(，2C(2，) D2，)答案B解析集合A讨论后利用数轴可知或解得1a2或a0，则AB为()Ax|0x2Bx|12答案D解析Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|1213已知集合M0，1，2，3，4，N1，3，5，集合P是由集合M，N中公共元素组成的集合，则集合P的
13、子集共有 个答案4解析集合M，N的公共元素为1，3，即集合P1，3，所以集合P的子集为，1，3，1，3，共有4个.14(2022山西长治模拟)已知集合Mx|xa0，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是 答案0或1或1解析易得MaMNN，NM，N或NM，a0或a1.15已知全集U2，1，0，1，2，集合A，则UA 答案0解析A，n1，当n0时，x2；当n2时，x2；当n3时，x1；当n4时，xZ；当n1时，x1；当n2时，xZ.故A2，1，2，1又U2，1，0，1，2，所以UA016某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两
14、天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品最少有 种答案1629解析如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19316(种).如图2所示，这三天售出的商品最少有1913329(种).17已知集合Px|a1x2a1，Qx|x23x10(1)若a3，求(RP)Q；(2)若PQQ，求实数a的取值范围解(1)因为a3，所以Px|4x7，RPx|x7又Qx|x23x100x|2x5，所以(RP)Qx|x7x|2x5x|2x4.(2)当P时，由PQQ得PQ，所以解得0a2；当P，即2a1a1时，有PQ，得a0.综上，实数a的取值范围是
15、(，2.18在ABB，A(RB)A，AB这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合Ax|a1x2a3，B.(1)当a2时，求AB；(2)若 ，求实数a的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)当a2时，Ax|1x7，Bx|2x4，所以ABx|2x7(2)选，因为ABB，可得AB.当a12a3，即a4时，AB，满足题意；当a14时，A，由AB可得解得1a，此时1a.综上所述，实数a的取值范围是.选，由(1)可得RBx|x2或x4，因为A(RB)A，则ARB.当a12a3，即a4时，ARB，满足题意；当a14时，A，由ARB可得2a32或a14，解得a或a5，此时4a或a5.综上所述，实数a的取值范围是.选，当a12a3，即a4时，A，AB，满足题意；当a14时，A，因为AB，则2a32或a14，解得a或a5，此时4a或a5.综上所述，实数a的取值范围是.