1、核心素养测评四十四 利用空间向量求线线角与线面角 一、选择题(每小题5分,共25分)1.平面的斜线l与它在这个平面上的射影l的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C. l与所成的角为a与b所成的角(或其补角),因为cos=,所以=60.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin的值为 ()A.B.C.D.【解析】选B.设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos=-,
2、sin=.3.已知ABC与BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC与平面BCD垂直,且异面直线AB和CD所成角为,则cos =()A.-B.C.-D.【解析】选D.如图,因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,所以取BC中点O,则AO,BC,OD两两垂直,以O为原点,建立如图空间直角坐标系O-xyz.则A(0,0,2),B(0,-2,0),C(0,2,0),D(2,0,0),所以=(0,-2,-2),=(2,-2,0),故cos=,所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为
3、()A. B.C. D.【解析】选B.建系如图,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),E1,0,F0,1,B1(1,1,1).=(0,1,0),=0,-1,=-1,0.设平面A1EF的一个法向量为n=(x,y,z),则即令y=2,则所以n=(1,2,1),cos=.设A1B1与平面A1EF的夹角为,则sin =cos=,即所求线面角的正弦值为.5.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a
4、,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-,则=(2a,0,0),=-a,-,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),则解得可取n=(0,1,1),则cos=,又因为0180,所以=60,所以直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_.【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=
5、1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,0,F0,1.所以=(0,0,-2),=0,0,=-,1.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成的角为,则sin =|cos|=,所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.答案:7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,AC=1,AA1=2,BAC=90,若AB1与直线A1C的夹角的余弦值是,则棱AB的长度是_.【解析】如图建立坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),C
6、(0,1,0),所以=(a,0,2),=(0,1,-2),所以|cos|=,解得a=1,所以棱AB的长度是1.答案:18.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1=CAA1=60,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.【解析】连接A1B交AB1于点O,取A1C1的中点D,连接B1D,DO.因为O,D分别为A1B,A1C1的中点,所以ODBC1,所以DOB1或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.设各棱长为a,则DB1=a.因为A1AB=60,所以OB1=AO=a.又因为=+=+-,所以=(+-)2=+2+-2-2+=a2+2a2cos 60+a2-2a2cos
7、 60-2a2cos 60+a2=2a2,所以|=a,所以OD=BC1=a.在DOB1中,由余弦定理得cosDOB1=,所以AB1与BC1所成角的余弦值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,已知点H在正方形ABCD的对角线BD上,HDA=60.求DH与CC所成的角的大小.【解析】如图所示,以D为原点,DA为单位长度,建立空间直角坐标系D-xyz,则=(1,0,0),=(0,0,1).设=(m,m,1)(m0),由已知,=60,由=|cos,可得2m=,解得m=,所以=,1,因为cos=,又因为0180,所以=45,即DH与CC所成的角为45.
8、10.(2020黄冈模拟)如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1底面ABCD,四边形ABCD为菱形,BAD=120,AB=AA1=2A1B1=2,(1)若M为CD的中点,求证:AM丄平面AA1B1B.(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,BAD=120,连接AC,则ACD为等边三角形,又因为M为CD的中点,所以AMCD,由CDAB,所以AMAB,因为AA1底面ABCD,AM底面ABCD,所以AMAA1,又因为ABAA1=A,所以AM平面AA1B1B.(2)因为四边形ABCD为菱形,BAD=120,AB=AA1=2A1B1=2,所以AMD=BAM=90,所以DM=1,AM=,又因为AA1底面ABCD,分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,A1(0,0,2),B(2,0,0),D,D1,所以=,=(-3,0),=(2,0,-2),设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则有y=x=z,令x=1,则n=(1,1),所以直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值sin =|cosn,|=.