1、ABR九江市 2022 年第二次高考模拟统一考试 数 学 试 题（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第卷（选择题 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复
2、数21(1)izaa(Ra)为纯虚数，则a 的值为(B)A.1 B.1 C.0 或1 D.1 或1 解:由21010aa ，得1a ，故选 B.2.已知集合|15Axx，2|340Bx xx，则如图所示的 阴影部分表示的集合为(A)A.|45xx B.|45xx C.|14xx D.|11xx 解:|14Bxx，阴影部分表示的集合为R()|45ABxx，故选 A.3.已知命题:p0 x，cosexx，则p 为(D)A.0 x，cosexx B.00 x，00cosexx C.0 x，cosexx D.00 x，00cosexx 4.若双曲线C 的一个焦点为(5,0)，且与双曲线22128yx
3、的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为(C)A.54 B.5 C.52 D.5 解:依题意，可设双曲线C 的标准方程为22182xy，则1025，即52，5522 5e，故选C.5.若数列na为等比数列，且15,a a 是方程2410 xx 的两根，则3a(C)A.2 B.1 C.1 D.1 解：由1540aa ，1 510a a ，可知150,0aa，则30a，又231 51aa a，则31a ，故选 C.6.已知函数()yf x的部分图像如图所示，则()yf x的解析式可能是(D)A.sin()eexxxf x B.sin()eexxxf x xyO-2-112C.cos()eexxxf x
4、 D.cos()eexxxf x 解:函数()f x 在0 x 处无定义，排除选项 A；函数()f x 的图像关于原点对称，故()f x 为奇函数，排除选项 B；当01x 时，cos0 x，eexx，故 cos0eexxx，排除选项 C，故选 D.7.已知锐角 满足24sinsin22，则cos2 (B)A.55 B.55 C.2 55 D.2 55 解:由24sinsin22，得2(1 cos2)sin22，即 tan220，(0,)2，2(0,)2，5cos25.故选 B.8.牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为0T，则经过一
5、定时间t 分钟后的温度T 满足02()1()thccTTTT，其中cT 是环境温度，h 为常数.现有一个105 C的物体，放在室温15 C的环境中，该物体温度降至75 C大约用时 1 分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30 C，则m 的值约为(B)（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A.2.9 B.3.4 C.3.9 D.4.4 解：由1175 15()105 15)(2h，有112()23h，又由130 15()75 15)(2mh，有41()21mh，即 2()314m，则123lglg 4m，解得lg42lg23.4lg2lg3lg3lg2m，故选 B.9.20
6、21 年 3 月，教育部办公厅发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确学生睡眠时间要求，高中生每天睡眠时间应达到 8 小时.若高一学生小明每天的睡眠时间在 7 小时至 10 小时之间随机分布，则他连续两天平均睡眠时间不少于 8 小时的概率是(D)A.29 B.49 C.23 D.79 解:设小明连续两天的睡眠时间都减去 7 小时后，分别为 x 小时和 y 小时，则 0303xy，作出,x y 所表示的可行域，如图中正方形.若他连续两天平 均睡眠时间不少于 8 小时，则2xy，其构成的区域为阴影部分.则所求 概率为12 272=13 39SPS 阴影正方形，故选 D.10.已知点 M
7、为抛物线2:8C yx上的动点，过点 M 向圆221:(2)1Oxy引切线，切点分别为,P Q，则 PQ 的最小值为(A)Oxy3223 A.3 B.32 C.2 D.1 解:如图，圆心1O 为抛物线的焦点(2,0)F，四边形1MPOQ 的面积 1111222SPQMOMPPO,21211121212 1MOMPPQMOMOMO,当1MO 最小时，即点 M 到准线的距离最小值为 2，2min12 132PQ，故选 A.11.正方形 ABCD中，,E F 分别为线段,AB BC 的中点，连接,DE DF EF，将,ADECDFBEF分别沿,DE DF EF 折起，使,A B C 三点重合，得到三
8、棱锥ODEF，则该三棱锥外接球半径 R 与内切球半径r 的比值为(C)A.2 3 B.4 3 C.2 6 D.6 解:在正方形 ABCD中，,ADAE CDCF BEBF，折起后,OD OE OF 两两互相垂直，故该三棱锥的外接球即以,OD OE OF 为棱的长方体外接球.设正方形 ABCD边长为 2，则2,1,1ODOEOF，故22226RODOEOF，则62R.设内切球球心为 I，由1133O DEFOEFVSOD，表面积4S，13O DEFI ODEI ODFI OEFI DEFVVVVVS r，131344r，则有2 6Rr，故选 C.12.若关于 x 的不等式ln1exaxxx(Ra
9、)恒成立，则a 的取值范围是（C）A.(,0 B.1(,e C.(,1 D.(,e 解：由题意得eln1xxxax对任意(0,)x 恒成立,令eln1()xxxf xx，则22eln()xxxfxx，令2()elnxg xxx，易知()g x 在(0,)上单调递增，1e()ln 2024g，(1)e0g，存在01(,1)2x，使得0()0g x，当0()0,xx时，()0g x，()0fx；当0(),xx 时，()0g x，()0fx，ACBDEFODEFMyQPOxO1()f x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增，000min00eln1()()xxxf xf xx.0200
10、0()eln0 xg xxx，001ln000000ln111elnelnxxxxxxxx,令()exh xx，显然()h x 在(0,)上单调递增，0001lnlnxxx，001exx,000000011()1xxxxf xxx，1a ,故选 C.第卷（非选择题 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.52()xx的展开式中含3x 项的系数为 10.解:52()xx的展开式中含3x 的项为141352()10C xxx，系数为
11、10.14.已知单位向量12,e e 满足12|3ee，则12|ee 1.解:22212112212|2|223eeee eee e，1212e e,2221211221|2|2212 eeee ee，12|1ee.15.斐波那契数列（Fibonacci sequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1,1,2,3,5,8,13,21，34，.已知在斐波那契数列 na中，11a，21a ，21nnnaaa(Nn)，若2022am，则数列 na的前 2020 项和为1m(用含m 的代数式表示).解：由21nnnaaa，可知11nnnaaa，432aaa，321aaa，将以上各式相
12、加，可知22nnaaS，则2020202221Saam.16.如图，棱长为 3 的正方体1111ABCDABC D中，P 为棱1CC 上一点，且12CPPC，M 为平面1BDC 内一动点，则 MCMP的最小值为2 2.解:连接1AC，与平面1BC D 交于点 E，易知1AC 平面1BC D，过 点C 作平面1BC D 的对称点 N，易知11133A NNEECAC，ACD1C1B1A1DBMP连接 NP，由1123CPCNCCCA，得11/NPAC，且1122 23NPAC，MCMPMNMPNP，当 M 为 NP 与平面1BC D 的交点时 取等号，则 MCMP的最小值为2 2.三、解答题:本
13、大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知ABC的面积为 S，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且22243()Sbac.()求 B 的大小；()若23ADAC，且2BD，求 S 的最大值.解:()22243()Sbac，22214sin3()2 acBbac1 分 2223()sin2acbBac 2 分 由余弦定理得sin3cosBB 4 分 cos0B，tan3 B5 分 0B，23B 6 分()23ADAC，2212()3333BDBAADBAACBABCBABABC7 分 222212144()33999BDB
14、ABCBABA BCBC8 分 2241424cos9939caca，即224236acac9 分 2244acac，4236acac，即18ac 10 分 12129 3sin18sin23232Sac，当且仅当3,6ac时取等号11 分 故 S 的最大值为 9 3212 分 18.(本小题满分 12 分)在直三棱柱111ABCA BC中，1BCCC，,D E 分别为1,BC CC 的中点，1ACBE，60ABC.ACD1C1B1A1DBEPN.MC1A1BDECAB1()证明：1AC平面1AB D；()求二面角 DAEB的余弦值.解:()如图，连接1A B，交1AB 于点 F，连接 DF
15、1 分 由直三棱柱111ABCA BC可知，四边形1111,ABB A BCC B 均为矩形，F 是1A B 的中点2 分 又 D 是 BC 的中点，1DFAC3 分 DF 平面1AB D，1AC 平面1AB D，1AC平面1AB D 4 分()解法一：1BCCC，四边形11BCC B 为正方形.又,D E 分别为1,BC CC 的中点，易得1BEB D，又1ACBE，1ACDF，BEDF，又1B DDFD，1,B D DF 平面1AB D，BE 平面1AB D 5 分 又 AD 平面1AB D，BEAD，由直三棱柱得1ADBB，又1BBBEB，1,BB BE 平面11BCC B，AD 平面1
16、1BCC B，ADBC6 分 D 是 BC 的中点，ABAC.如图，以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Dxyz.ABAC，60ABC，ABC为等边三角形.不妨设2AB，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1)DABCE7 分 设平面 DAE 的法向量为(,)mx y z，由0,0DA mDE m,得300 xyz，可取(0,1,1)m 9 分 设平面 BAE 的法向量为,nx y z，由0,0AB nEB n得3020 xyyz，可取(1,3,2 3)n 11 分 3 33 6cos,824m nm nm n,即二面角
17、 DAEB的余弦值为 3 6812 分 解法二：如图，以 B 为坐标原点，BC 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Bxyz.C1A1BDECAB1Fxyz不妨设 ABt，2BC,则113(0,0,0),(2,0,0),(2,0,1),(,2)22BCEAtt5 分 1ACBE,113(2,2)22ACtt，(2,0,1)BE,12(2)(2)102 t ，解得2t 7 分(1,3,0)A,(1,0,0)D,设平面 DAE 的法向量为(,)mx y z，由0,0DA mDE m,得300yxz，可取(1,0,1)m 9 分 设平面 BAE 的法向量为,nx y z，由0,0BA nBE
18、 n得3020 xyxz，可取(3,1,2 3)n 11 分 3 33 6cos,824m nm nm n,即二面角 DAEB的余弦值为 3 6812 分 19.(本小题满分 12 分)2022 年 2 月 4 日至 20 日，第 24 届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：每位参赛选手共进行 3 轮比赛，每轮比赛从 A、B 难度问题中限选 1 题作答，取其中最好的 2 轮成绩之和作为最终得分；每轮比赛中答对 A 难度问题得 10 分，答对 B 难度问题得 5分，答错则得 0 分.已知某选手在比赛中答对 A 难度问题的概率为 25，答对 B 难
19、度问题的概率为 45，且每轮答题互不影响.()若该选手 3 轮比赛都选择 A 难度问题，求他最终得分为 10 分的概率；()若该选手 3 轮比赛中，前 2 轮选择 B 难度问题，第 3 轮选择 A 难度问题，记他的最终得分为 X，求X 的分布列和数学期望.解：()他最终得分为 10 分，则 3 轮比赛中有且仅有 1 轮比赛答对 A 难度问题2 分 故所求概率为1232254C(1)55125P 5 分()依题意得，X 的可能取值为 0，5，10，156 分 2423(0)(1)(1)55125P X,1244224(5)C(1)(1)555125P X,224242502(10)()(1)(1
20、)55551255P X,1224424248(15)C(1)()55555125P X,C1A1BDECAB1FyxzX的分布列为 X 0 5 10 15 P 3125 24125 25 48125 10 分 X的数学期望324248268()05101510.72125125512525E X 12 分 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆2222:1xyE ab(0ab)的离心率为32，P 为椭圆 E 上一点，Q 为圆222xyb上一点，PQ 的最大值为 3(,P Q 异于椭圆 E 的上下顶点).()求椭圆 E 的方程；()A 为椭圆 E 的下顶点，直线,AP AQ 的斜率分别记为12
21、,k k，且214kk，求证：直线 PQ 过定点，并求出此定点的坐标.解：()32cea，32ca 1 分 PQPOOQPObab，PQ的最大值为ab2 分 即3ab，又222cab，2223()(3)2 aaa，解得2a，1b 3 分 椭圆 E 的方程为2214xy 4 分()直线 AP：11yk x(10k)，联立方程组221141xyyk x，消去 y 得2211(41)80kxk x5 分 则121841Pkxk，21214141Pkyk，即2112211841(,)41 41kkPkk6 分 直线 AQ：141yk x，联立方程组221141xyyk x，消去 y 得2211(161
22、)80kxk x7 分 则1218161Qkxk，2121161161Qkyk，即21122118161(,)161 161kkQkk8 分 yxOQPA2211221111122111614116141188416141PQkkkkkkkkkk 9 分 则直线211221114181:()41441kkPQ yxkkk 10 分 即1114yxk 11 分 即当0 x 时，1y ，直线 PQ 经过定点(0,1)12 分 21.(本小题满分 12 分)已知函数()ln1f xxxax (Ra).()若1a，讨论()f x 零点的个数；()求证：2(ln1)lnln 2exxxx.(注：ln20
23、.6931)解:()解法一：()ln1fxxa 1 分 由()0fx得1eax，()0fx得10eax,()f x在1(0,e)a上单调递减，1(e,)a 上单调递增，11min()(e)1 eaaf xf 2 分 当1a 时，11(e)1 e0aaf，()f x 没有零点3 分 当1a 时，11(e)1 e=0aaf，()f x 有且只有一个零点4 分 综上：当1a 时，()f x 没有零点；当1a 时，()f x 有且只有一个零点5 分 解法二：由()0f x，得1lnaxx，令1()lng xxx，则22111()xg xxxx1 分 当(0,1)x时，()0g x，()g x 在(0,
24、1)上单调递减，当(1,)x 时，()0g x，()g x 在(1,)上单调递增,min()(1)1g xg2 分 当1a 时，()f x 没有零点3 分 当1a 时，()f x 有且只有一个零点4 分 综上：当1a 时，()f x 没有零点；当1a 时，()f x 有且只有一个零点5 分()证明：由()可知，当1a时，min()(1)0f xf，ln1xxx，当1x时，22(ln1)lnlneexxxxxxx6 分 令2()lneh xxxx(1x)，则22()1 ln0eh xxx，()h x在1,)上单调递增7 分 2()(1)0.7ln 2eh xh，2(ln1)lnln 2exxxx
25、8 分 当01x时，ln1 1xx ，ln0 x，22(ln1)lnlneexxxxxx9 分 令2()lnem xxx(01x)，则2212e2()eexm xxxx，由()0m x,得 21e x;()0m x，得20ex，()m x在2(0,)e上单调递减，在 2(,1)e上单调递增10 分 22()()ln1ln 2eem xm，2(ln1)lnln 2exxxx11 分 综上所述，2(ln1)lnln 2exxxx12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中
26、，已知直线l 的普通方程为310 xy，曲线 E 的参数方程为1 cossinxy（为参数）.()以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 及曲线 E 的极坐标方程；()若 P 为曲线 E 在第一象限上一点，射线OP 按逆时针方向旋转60，与直线l 相交于点Q，若OPQ的面积为34，求|OP 的值.解:()直线 l 的极坐标方程为cossin103 2 分 曲线 E 的普通方程为22(1)1xy 3 分 曲线 E 的极坐标方程为2cos 5 分()在极坐标系中，设点,P Q 的坐标分别为11(,)，22(,)，则1(0,)2，213，11|2cosOP，22111|2sin(
27、)2sin()66OQ 6 分 1213sin6024 ，121 7 分 112cos12sin()6，解得13tan38 分 1(0,)2，169 分|2cos36OP10 分 23.(本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|1|1|f xxxaa的最小值为 2，()|g xk x(,Ra k)()求a 的取值范围；()若()()f xg x，求k 的最大值 解:()|1|(1)()|1|xxaxxaa1 分 min()|1|1|f xaa2 分 即|1|1|2aa 3 分 又|1|1|(1)(1)|2aaaa,当且仅当 11a 时，取等号4 分 故 a 的取值范围是 1,15 分()由()得()|1|1f xxxaa，当1x 时，()112f xxxaax 6 分 当1ax 时，()112f xxxaa 7 分 当 xa 时，()1122(1)f xxxaaxa 8 分()f x在(,)a 上单调递减，在(1,)上单调递增9 分()f x，()g x 的图像如图所示，故2k，即 k 的最大值为 210 分 xyO 12