1、四川省成都南开为明学校2020-2021学年高二数学3月月考试题 理（说明：试卷总分150分，时间:120分钟）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60 分）1.与向量平行的一个向量的坐标为( )A. B. C. D. 2.设在处可导，则( )A.B.C.D.3.正方体中，化简 （ ）A B C D4.函数的单调递减区间为（ ） A B CD5.已知向量，且，则（ ）A-1 B2 C-2 D16.在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为ABCD7.如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是( )A.B.C.D.8.函数的图像在点处的切线方程是,则( )A.1B.2
2、C.3 D.49.在棱长为1的正方体中,为的中点,则直线与平面所成角为( )A.B.C.D.10.已知，则等于（ ）A. B. C. D. 11.如图, 为正方体,下面结论错误的是( )A. 平面B. C. 平面D.异面直线与角为12.已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（ ）A. B.C.D. 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20 分）13.已知向量,且与互相垂直,则_.14.函数的导函数的图象如图所示, 其中是的根,现给出下列命题: (1) 是的极小值; (2) 是极大值; (3) 是极大值; (4) 是极小值; (5) 是极大值. 其中正确的命题是_.(填
3、上正确命题的序号) 15.如图,在三棱柱中,所有棱长均为1,且底面,则点到平面的距离为_.16.若在上单调递减，则实数的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70 分）17.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点.(1)求的长；(2)求异面直线与所成的角的余弦值.18.已知曲线上一点,如下图,求:(1)点处切线的斜率;(2)点处的切线方程.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面,，E是的中点，作交于点F(1)证明 : 平面；(2)证明: 平面.20.设函数.1.求的单调区间;2.求函数在区间上的最小值.21.如图,在四棱锥中, 底面,点为棱的中点.(1)证明: ;(2)求直线与平面所
4、成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.22.已知函数.(1)讨论函数的单调性.(2)若，设是函数的两个极值点，若，求证:. 参考答案（理数）1.答案：C解析：.2.答案：A解析：.3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：C7.答案：A解析：.8.答案：B解析：由切线斜率可知.又在切线上,.故选B.9.答案：B解析：以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则.可得平面的法向量为.直线与平面所成角为.10.答案：B解析：由，得：，取得：，所以，.故.11.答案：D解析：A中因为,正确;B中因为,由三垂线定理知正确;C中有三垂线定理可知,故正确;D中显然
5、异面直线与所成的角为故选D12.答案：D解析：解：要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，只需方程方程在有两个不相等实根即，令，则在递增，在递减其图象如下：故选：D13.答案：解析：14.答案：(1)(2)解析：15.答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系则,则设平面的一个法向量为,则有解得,则所求距离为.16.答案：解析：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立因为，所以17.答案：(1)以,的正方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系,则,可得,所以的长为3.(2)由(1)的坐标系,可得,所以,设异面直线与所成的角为,所以,即异面直线与所成的角的余弦值.解析： 18.答案：
6、1.,.点处切线斜率等于.2.再点处的斜线方程是,即.解析：19.答案：1.证明:连结，交于连结底面是正方形点是的中点在中，是中位线，/而平面，且平面，所以,/平面2.底面，且底面. 底面是正方形，有,，平面，平面, 平面而平面，.又,是的中点，平面，平面.平面而平面，又，且，平面，平面，所以平面解析： 20.答案：1.定义域为,由得, 的单调递减区间为,单调递增区间为;2. ,由得,在上单调递减,在上单调递增,的最小值为.解析：21.答案：1.依据题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得.由为棱的中点,得.证明:向量,故.所以.2.向量.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有.所以直线与平面所成角的正弦值为.3.向量.由点在棱上,设.故.由,得,因此,解得,则.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.取平面的一个法向量,则.易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.解析：22.答案：(1)由题意得，函数的定义域为，.当时，函数在上单调递增.当时，令，得.若，则，此时函数单调递增；若，则，此时函数单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.(2)，.由得，.，解得.设，则，函数在上单调递减.当时，.时，成立.