1、第三节等比数列及其前n项和本节主要包括3个知识点：1.等比数列基本量的计算； 2.等比数列的性质；3.等比数列的判定与证明.突破点(一)等比数列基本量的计算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3运用方程的思想
2、求解等比数列的基本量(1)若已知n，an，Sn，先验证q1是否成立，若q1，可以通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)若已知数列an中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组计算时两式相除可先求出q，然后代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.另外，还可以利用公式anamqnm直接求得q，可减少运算量考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求首项a1，公比q或项数n例1(1)(2017太原模拟)已知等比数列an单调递减，若a31，a2a4，则a1()A2 B4 C. D2(2)在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1 B C1或 D1或
3、解析(1)设等比数列an的公比为q，q0，则aa2a41，又a2a4，且an单调递减，所以a22，a4，则q2，q，所以a14，故选B.(2)根据已知条件得消去a1得3，整理得2q2q10，解得q1或q.答案(1)B(2)C求通项或特定项例2(1)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_(2)在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.解析(1)设等比数列an的公比为q，q0，则a8a62a4即为a4q4a4q22a4，解得q22(负值舍去)，又a21，所以a6a2q44.(2)由题意知a14a116a121，解得a11，所以等
4、比数列an的通项公式为ana1qn14n1.答案(1)4(2)4n1方法技巧求等比数列通项公式的方法与策略求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用ana1qn1求解但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形anamqnm可以简化解题过程求解时通常会涉及等比数列设项问题，常用的设项方法为：(1)通项法设数列的通项公式ana1qn1(nN*)来求解(2)对称设元法与有穷等差数列设项方法类似，有穷等比数列设项也要注意对称设元一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为，x，xq，；连续偶数个项成等比数列，可设为，xq，xq3，(注意：此时公比q20，并不适合所有情况)这样既可以减少未知量的个数，
5、也使得解方程较为方便求等比数列的前n项和例3设数列an的前n项和Sn满足6Sn19an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n1时，由6a119a1，得a1.当n2时，由6Sn19an，得6Sn119an1，两式相减得6(SnSn1)9(anan1)，即6an9(anan1)，所以an3an1.所以数列an是首项为，公比为3的等比数列，其通项公式为an3n13n2.(2)因为bnn2，所以bn是首项为3，公比为的等比数列，所以Tnb1b2bn1n.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a
6、4，则an()A4n B4n1C4n D4n1解析：选B由题意得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，故a14，a26，所以q，则an4n1.2.已知数列an是公比为q的等比数列，且a1a34，a48，则a1q的值为()A3 B2C3或2 D3或3解析：选D由a1a34，a48，得aq24，a1q38，解得q2.当q2时，a11，此时a1q3；当q2时，a11，此时a1q3.故选D.3.(2017唐山模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1解析：选D设an的公比为q，由可得2，q，将q代入得a12，an2n1，Sn4，2n1，选D
7、.4.(2017枣庄模拟)已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是()A(，1 B(，0)(1，)C3，) D(，13，)解析：选D设等比数列an的公比为q，则S3a1a2a3a21q，当q0时，S31q12 3(当且仅当q1时取等号)；当q0，q1，a3a520，a2a664，则S5()A31 B36 C42 D48解析：选A由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531，故选A.3.已知各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，则S40()A150 B140 C130 D120解析：选A
8、在等比数列an中，由S1010，S3070可知q1，所以S10，S20S10，S30S20，S40S30构成公比为q的等比数列所以(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，解得S2030(负值舍去)所以2q，所以S40S302(S30S20)80，S40S3080150.4.(2017兰州诊断)数列an的首项为a11，数列bn为等比数列且bn，若b10b112 017，则a21_.解析：由bn，且a11，得b1a2.b2，a3a2b2b1b2.b3，a4a3b3b1b2b3，anb1b2bn1，所以a21b1b2b20.因为数列bn为等比数列，所以a21(
9、b1b20)(b2b19)(b10b11)(b10b11)10102 017.答案：2 017突破点(三)等比数列的判定与证明基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 等比数列的四种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 等比数列的判定与证明典
10、例设数列的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列解(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得a4.(2)证明：由4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)4a3a14164a2，4an2an4an1，数列是以a2a11为首项，为公比的等比数列易错提醒(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推
11、关系时要注意对n1时的情况进行验证能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.2在数列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当an0时，也有an2an1，n2,3,4，但an不是等比数列，因此充分性不成立；当an是公比为2的等比数列时，有2，
12、n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立故选B.3已知一列非零向量an满足a1(x1，y1)，an(xn，yn)(xn1yn1，xn1yn1)(n2，nN*)，则下列命题正确的是()A|an|是等比数列，且公比为B|an|是等比数列，且公比为C|an|是等差数列，且公差为D|an|是等差数列，且公差为解析：选A|an|an1|(n2，nN*)，|a1|0，为常数，|an|是等比数列，且公比为，选A.4已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列证明：an2Sn2Sn14an124an24an14an，2.S2a1a2
13、4a12，a25.b1a22a13.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列 全国卷5年真题集中演练明规律 1(2015新课标全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84解析：选Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.2(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. D 解析：选C由题知q1，则S3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，则a1，故选C.3(2016全国乙卷)设等比数
14、列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_解析：设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，所以a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.记t(n27n)2，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.答案：644(2016全国丙卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解：(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an
15、.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1(2017湖北华师一附中月考)在等比数列an中，a2a3a48，a78，则a1()A1 B1 C2 D2解析：选A因为数列an是等比数列，所以a2a3a4a8，所以a32，所以a7a3q42q48，所以q22，则a11，故选A.2(2017安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8()A32 B64 C128 D256解析：选C
16、a2a4a16，a34(负值舍去)，又S3a1a2a3a37，则联立，得3q24q40，解得q或q2，an0，q2，a11，a827128.3等比数列an中，已知对任意正整数n，a1a2a3an2n1，则aaaa等于()A.(4n1) B.(2n1)C4n1 D(2n1)2解析：选A由题知a11，公比q2，故数列a是首项为1，公比为4的等比数列，故aaaa(4n1)，故选A.4已知等比数列an的各项均为正数，且a12a23，a4a3a7，则数列an的通项公式an_.解析：设等比数列an的公比为q，则q0.由aa3a7得a4a3a74a4aq2，所以q2，q.又a12a2a12a1q3，即2a1
17、3，所以a1，所以ana1qn1n1.答案：5设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则_.解析：设S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，.答案：练常考题点检验高考能力一、选择题1(2017河南名校联考)在各项均为正数的等比数列an中，a13，a9a2a3a4，则公比q的值为()A. B. C2 D3解析：选D由a9a2a3a4得a1q8aq6，所以q2a，因为等比数列an的各项都为正数，所以qa13.2(2016杭州质检)在等比数列an中，a5a113，a3a134，则()A3 BC3或 D3或解析：选C根据
18、等比数列的性质得化简得3q2010q1030，解得q103或，所以q103或.3(2017长沙模拟)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7解析：选D设等比数列an的公比为q，由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.4(2016衡阳三模)在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn()A2n12 B3nC2n D3n1解析：选C因为数列an为等比数列，a12，设其公比为q，则an2qn1，因为数列an1也是等比数列，所以(an11)2(an1)(an21)，即a2an1anan2anan2，则anan22an1，即a
19、n(1q22q)0，所以q1，即an2，所以Sn2n，故选C.5(2017福州质检)已知等比数列an的前n项积记为n，若a3a4a88，则9()A512 B256 C81 D16解析：选A由题意知，a3a4a7qa3a7(a4q)a3a7a5a8，9a1a2a3a9(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5a，所以983512.6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第
20、二天走了()A192 里 B96 里 C48 里 D24 里解析：选B设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96 里，故选B.二、填空题7已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为_解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1a21910.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b199，易知b20，所以b23，所以.答案：8设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(a1a
21、2)3a1a1a2a3.化简，得3，即等比数列an的公比q3，故an13n13n1.答案：3n19在等比数列中，公比q2，前99项的和S9930，则a3a6a9a99_.解析：S9930，a1(2991)30.又数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a9930.答案：10若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2 016积数列”，且a11，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为_解析：由题可知a1a2a3a2 016a2 016，故a1a2a3a2 0151，由于an是各项均为正数的等比数列且a11，所以
22、a1 0081，公比0q1，所以a1 0071且0a1 0091，故当数列an的前n项的乘积取最大值时n的值为1 007或1 008.答案：1 007或1 008三、解答题11设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.解：(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1.又当n2时，anSnSn12n12n22n2.当n1时a11，不适合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.12已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n.