1、核心素养测评八十 证明不等式的基本方法1.(10分)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+1.【证明】因为a0,b0,a+b=2,所以+-1=.因为a+b=22,所以ab1.所以0.所以+1.2.(10分)(2020桂林模拟)已知正数a,b满足+=1.(1)证明:ab.(2)若存在实数x,使得-=a+b,求a,b.【解析】(1)因为4a+b=(4a+b)=4+4+2+=,1,又1=+2ab1,所以ab.(2)因为|x+2|-|x-|(x+2)-(x-)|=,当且仅当,即x时,等号成立;又a+b=(a+b)=1+1+2=,当且仅当=即a=2b时,等号成立,所以a=,b=.3.(10分)设a
2、,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则+.(2)+是|a-b|+,只需证明(+)2(+)2,也就是证明a+b+2c+d+2,只需证明,即证abcd.由于abcd成立,因此+.(2)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.若+,则(+)2(+)2,所以a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|2时,由f(x)=3x-5-1,解得x,显然不成立.故f(x)-1的解集为M=x|x0.(2)当xM时,f(x)=x-1,于是xf(x)2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-+.令g(x)=-+,则函数g(x)在(-,0上是增函数,所以g(x)g(0)=0.故xf(x)2-x2f(x)0.
