1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件学习要求:1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系:(i)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论
2、之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.3.充分条件与必要条件(1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若pq,且q/ p,则p是q的充分不必要条件.(3)若p/ q,且qp,则p是q的必要不充分条件.(4)若pq,则p是q的充要条件.(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.提醒不能将“若p,则q”与“pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“pq”.知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:(1)若AB,则p是q的充分条件;
3、(2)若AB,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;(6)若AB且AB,则p是q的既不充分也不必要条件.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)“x2-3x+2=0”是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.()(6)一个命题非真即假.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.“若
4、x1,则x0”的否命题是()A.若x1,则x0B.若x1,则x0C.若x1,则x0D.若x1,则x0,b0,则“ab1”是“a+b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A已知a0,b0,充分性:若ab1,因为a2+b22ab,所以(a+b)24ab,所以(a+b)24,所以a+b2;必要性:若a+b2,则当a=3,b=13时,ab=1,所以必要性不成立.因此“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件.5.(易错题)“ln x0”是“x1”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B因为ln x0,所以0x1,
5、又集合(0,1)为集合(-,1)的真子集,所以“ln x0”为“x0,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题;B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”;C.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;D.命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价.答案BD充分条件、必要条件的判断1.(2020四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:ab,条件q:a2b2,则p是q的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案D当a=1,b=-2时,a2b2时,a2-b20,即(a-b)(a+
6、b)0,所以ab且a+b0或ab且a+b0,x+1xa成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案Ax0时,x+1x2,“x0,x+1xa”等价于a2,而a=2可以推出a2,但a2不能推出a=2,“a=2”是“x0,x+1xa成立”的充分不必要条件,故选A.4.集合A=x|x1,B=x|x2,则“xA或xB”是“x(AB)”的条件.答案必要不充分名师点评充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命题的真假
7、.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.充分、必要条件的应用典例2(1)设:1x3,:m+1x2m+4,mR,若是的充分条件,则m的取值范围是.(2)已知条件p:2x2-3x+10,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.答案(1)-12,0(2)0,12解析(1)若是的充分条件,则对应的集合是对应集合的子集,则m+11,2m+43,解得-12m0.(2)由2x2-3x+10,得12x1,设条件p对应的集合为P,则P=x|12x1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得axa+1,设条件q对应的集合为Q,则Q=x|axa+1.p是q的必
8、要不充分条件,q是p的必要不充分条件,PQ,0a12,实数a的取值范围是0,12.名师点评1.解题“2关键”:(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题“1注意”:求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.(2020陕西山阳中学高三月考)已知集合A=x|2xx-21,集合B=x|x2-(2m+1)x+m2+m0,p:xA,q:xB,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.答案-2,1解析集合A=x
9、|2xx-21=x|x+2x-20=x|-2x2,集合B=x|x2-(2m+1)x+m2+m0=x|mx0),若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.答案(0,2解析|x-1|2,-1x3,即p:-1x3;x2-2x+1-a20(a0),x1-a或x1+a,q:1-ax0,1-a-1,1+a3,解得0a2,实数a的取值范围是(0,2.A组基础达标1.命题“若xa2+b2,则x2ab”的逆命题是()A.若xa2+b2,则x2abB.若xa2+b2,则x2abC.若x2ab,则xa2+b2D.若x2ab,则xa2+b2答案D2.(2020河北邯郸鸡泽第一中学高三月考)下列命题是真命题的为(
10、)A.若1x=1y,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=yD.若xy,则x20B.xN+,(x-1)20C.xR,lg xb+2a”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若0b+2a能够推出ab.当a=19,b=110时,满足ab,但此时a+1bb推不出a+1bb+2a,综上,“a+1bb+2a”是“ab”的充分不必要条件.故选A.7.(多选题)已知a,b,c是实数,则下列结论正确的是()A.“a2b2”是“ab”的充分条件B.“a2b2”是“ab”的必要条件C.“ac2bc2”是“ab”的充分条件D.“|a|b|”是
11、“ab”的既不充分也不必要条件答案CD8.(多选题)下列命题错误的是()A.xR,ex0B.xR,2xx2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若x,yR,且x+y2,则x,y中至少有一个大于1答案ABC根据指数函数的性质可得ex0,故A错误;当x=2时,2xx2不成立,故B错误;当a=b=0时,ab没有意义,故C错误;因为“若x,yR,且x+y2,则x,y中至少有一个大于1”的逆否命题为“若x,yR,且x,y都小于等于1,则x+y2”,是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC.B组能力拔高9.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是()A.k-22或k22B.k-22C
12、.k2D.k-22或k2答案B若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=|-3|k2+11,即k2+13,k2+19,即k28,k22或k-22,由选项知圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是k-22,故选B.10.已知条件p:|x-4|6;条件q:(x-1)2-m20(m0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.21,+)B.9,+)C.19,+)D.(0,+)答案B由题意知,条件p:-2x10,条件q:1-mxm+1,又p是q的充分不必要条件,故有1-m-2,1+m10,m0,解得m9.11.(2020江苏扬州中学高三月考)“a
13、b”是“3a3b”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”).答案充要解析因为y=3x在R上是增函数,所以当ab时,3a3b,故充分性成立;当3a3b时,ab,故必要性成立.故“ab”是“3a3b”的充要条件.12.(2020黑龙江鹤岗一中期末)下列命题中为真命题的是.(填序号)命题“若xy,则x|y|”的逆命题;命题“若x1,则x21”的否命题;命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;“若x24,则-2x|y|,则xy”,为真命题,对于,命题的否命题为“若x1,则x21”,为假命题,对于,命题的否命题为“若x1,则x2+x-20”,为假命题,对于,命题“若x
14、24,则-2x2”为真命题,故其逆否命题为真命题,综上,为真命题.C组思维拓展13.(2020河南高三模拟)若关于x的不等式(x-a)(x-3)0成立的充要条件是2x3,则a=.答案2解析因为2x3是不等式(x-a)(x-3)0成立的充分条件,所以a2,因为2x3是不等式(x-a)(x-3)0成立的必要条件,所以2a3,故a=2.14.设集合A=x|x(x-1)0,B=x|0x3,那么“mA”是“mB”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由mB不能推出mA,如x=2,故必要性不成立.由xA能推出xB,所以“mA”是“mB”的充分不必要条件.15.在熟语“水滴石穿”中,“石穿”是“水滴”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案必要不充分解析“水滴”可以推出“石穿”,但“石穿”推不出“水滴”,有可能是“化学腐蚀”,故“石穿”是“水滴”的必要不充分条件.