1、2013年高三数学一轮复习 第六章第7课时知能演练轻松闯关 新人教版1. 求证：n35n(nN*)能被6整除. 证明：(1)当n1时, n35n6能被6整除; (2)假设当nk(k1, 且kN*)时, k35k能被6整除. 则当nk1时, (k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3k(k1)6.由假设知k35k能被6整除, 而3k(k1)、6也能被6整除, (k1)35(k1)也能被6整除. 由(1)(2)可知, 命题对任意nN*都成立. 2. 设f(x), x11, xnf(xn1)(n2, nN). (1)求x2, x3, x4的值; (2)归纳并猜想xn的通项公式; (3)用数
2、学归纳法证明你的猜想. 解：(1)x2f(x1), x3f(x2), x4f(x3).(2)根据计算结果, 可以归纳猜想出xn.(3)证明：当n1时, x11, 与已知相符, 归纳出的公式成立. 假设当nk(kN)时, 公式成立, 即xk, 那么, 当nk1时, 有xk1, 所以, 当nk1时公式也成立. 由知, 对任意nN, 有xn成立. 一、选择题1. 用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时, 第一步证明中的起始值n0应取()A. 2B. 3C. 5 D. 6解析：选C.令n0分别取2,3,5,6, 依次验证即得. 2. 如果命题p(n)对nk成立, 则它对nk2也成立
3、. 若p(n)对n2成立, 则下列结论正确的是()A. p(n)对所有正整数n都成立B. p(n)对所有正偶数n都成立C. p(n)对所有正奇数n都成立D. p(n)对所有自然数n都成立解析：选B.归纳奠基是：n2成立. 归纳递推是：nk成立, 则对nk2成立. p(n)对所有正偶数n都成立. 3. (2012巢湖联考)对于不等式n1(nN*), 某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时, 11, 不等式成立. (2)假设当nk(kN*)时, 不等式成立, 即k1, 则当nk1时, an, 求a1的取值范围. 解：(1)证明：已知a1是奇数, 假设ak2m1是奇数, 其中m为正整数,
4、则由递推关系得ak1m(m1)1是奇数. 根据数学归纳法, 对任意nN*, an都是奇数. (2)由an1an(an1)(an3)知, 当且仅当an3时, an1an.另一方面, 若0ak1, 则0ak13, 则ak13.根据数学归纳法可知, nN*,0a110an3an3.综上所述, 对一切nN*, 都有an1an的充要条件是0a13.11. 已知点Pn(an, bn)满足an1anbn1, bn1(nN*)且点P1的坐标为(1, 1). (1)求过点P1, P2的直线l的方程; (2)试用数学归纳法证明：对于nN*, 点Pn都在(1)中的直线l上. 解：(1)由P1的坐标为(1, 1)知a11, b11.b2.a2a1b2.点P2的坐标为(, ), 直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时, 2a1b121(1)1成立. 假设nk(kN*)时, 2akbk1成立, 则当nk1时, 2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1, 当nk1时, 命题也成立. 由知, 对nN*, 都有2anbn1, 即点Pn在直线l上. 高考资源网w w 高 考 资源 网
