1、课后跟踪训练(五十四)基础巩固练一、选择题1“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析要使方程1表示椭圆，只需满足解得3m5且m1，因此，“3mb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.解析以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为ra，圆的方程为x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：da，整理可得a23b2，即a23(a2c2)，2a23c2，从而e2，椭圆的离心率e，故选A.答案A5(2
2、019上海崇明一模)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析依题意，设椭圆方程为1(ab0)，右焦点为F，连接PF.由已知，半焦距c2.又由|OP|OF|OF|，知FPF90.在RtPFF中，|PF|8.由椭圆的定义可知2a|PF|PF|4812，所以a6，于是b2a2c262(2)216，故所求椭圆方程为1，故选C.答案C二、填空题6(2019安徽黄山一模)已知圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_.解析圆(x2)2y21经过椭圆1(a
3、b0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1,0)，一个顶点为A(3,0)，所以c1，a3，因此椭圆的离心率为.答案7(2018北京朝阳模拟)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，则此椭圆的方程为_解析由FMN为正三角形，得c|OF|MN|b1.解得b，a2b2c24.故椭圆的方程为1.答案18从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析由已知，点P(c，y) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABk
4、OP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是.答案三、解答题9F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，椭圆上的点到F2的最近距离为4，最远距离为16.(1)求椭圆方程；(2)P为该椭圆上一点，且F1PF260，求F1PF2的面积解(1)依题意知，a10，c6.b8.所求椭圆方程为：1.(2)F1PF260，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|144.(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|144.又|PF1|PF2|20，|PF1|PF2|.SF1PF2|PF1|PF2|sin60.10(2
5、019湖南长沙望城一中第三次调研)P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1,0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解(1)圆A的圆心为A(1,0)，半径等于2.由已知得|MB|MP|，所以|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，设的方程为1(ab0)，a，c1，b1，所以曲线的方程为y21.(2)由点P在第一象限，cosBAP，|AP|2，得P.于是直线AP的方程为y(x1)代入椭圆方程，消去y，可得5x22x70，即(5x7)(x1)0.所以x11，x2.因
6、为点M在线段AP上，所以点M的坐标为.能力提升练11(2018辽宁大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得2cb(2a2c)，得a2c，即e，故选C.答案C12(2019广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8解析设点P(x0，y0)，则1，即y3.又因为点F(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22.又x02,2，所以(
7、)max6.故选C.答案C13(2019云南昆明质检)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是_解析记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|PF2|225，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(3,0)或(3,0)答案(3,0)或(3,0)14已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率(2)若2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF
8、2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.拓展延伸练15(2019广东中山一模)设椭圆：1(ab0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且，即，解得e.故选B.答案B16(2019浙江温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，1e2，整理得e43e210，e2，0e.故选B.答案B
