1、黄冈中学2006届高三数学第一轮复习单元测试第十二单元 简单多面体一、选择题：1给出下列命题： 有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱；底面为正多边形的棱柱为正棱柱；顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱维是正棱锥；A、B为球面上相异的两点，则通过A、B的大圆有且公有一个。其中正确命题的个数是 （ ）A0个 B1个 C2个 D3个2正四棱柱底面面积为M，对角面面积为N，其体积为 （ ）A. B. C. D. 3如图，一个封闭的长方体，它6个表面各标出A、B、C、D、E、F这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是 （ ）A
2、.D、E、F B.F、D、E C.E、F、D D. E、D、FDCBABBCEBAC4已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等，那么这个圆维轴截面顶角的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 （ ）A. B. C. D. 5一个圆锥和一具半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （ ）A. B. C. D. ABCDFE6如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，则该多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 7长方体的一个顶点上三条棱的长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度
3、为5，体积 为2，则等于 （ ）A. B. C. DABACADFA1B1AC1AD1FGFE8不共面的三条直线互相平行，点A在上，点B在上，CD两点在上，CD两点在，则三棱锥A-BCD的体积 （ ）A.由A点的变化而变化 B.由B点的变化而变化 C.有最大值，无最小值 D.为定值9已知棱长为1的正方形容器中，在的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积是（不计小孔面积对容积的影响） （ ）A. B. C. D. ACC1A1B1BA0B010.如图所示，在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且知=3：2，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比为2：1，则等于 （
4、 ）A.1：1 B.3：2 C.2：3 D.4：3ABCPNM11.如图，在正三棱维P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN侧面PBC，则截面AMN与底面ABC所成二面角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 12若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是 （ ）A. B. C. D.FA1C1B1ABCABCPABCPABCPABCP二填空题：13正八面体的棱长为a，则它的对角线为 。PBAC14（理）如图，在直三棱柱中，E、F分别为的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 。 （文）如图
5、，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且，则PA与底面ABC所成的角为 。15如图，一个底面半径为R的圆柱量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为的实心球，水面恰好升高，则= 。16在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ”，请写出一结论。三解答题：FEGABCD17如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面BEFG所截而得到的。其中AB=4，BC=1，AE=3，DF=4。求异面直线EF与
6、BC所成的角；求截面与底面所成二面角的正切值；PACBDPO18（理）如图，在三棱锥P-ABC中，点O、D分别是AC、PC的中点，底面ABC。求证：OD平面PAB；当时， 直线PA与平面PBC所成角的大小；当为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？ （文）如图，在三棱锥P-ABC中，点O、D分别是AC、PC的中点，底面ABC，求证：CD平面PAB；求直线OD与平面PBC所成角的大小。B1AAPBCC119如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC，以PA的直径的球和PB、PC分别交于，求两点的球面距离。20正方形ABCD边长为4，点E是边CD上的一点，将AED沿AE折起到AED的位置时，
7、有平面平面ABCE且判断并证明点E的具体位置；求点 到平面ABCE的距离。ABCDA1B1C1D1EFG21如图，正四棱柱中，底面的边长为，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点， 求证：平面平面；求点到平面的距离d；求三棱维的体积V。甲乙22如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢块，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要的说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。十二、简单多面体参考答案一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.A 5.C
8、 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.A 12.D二、填空题：13. 14.（理） （文） 15. 16. 三、解答题：17.（1）过E作交DF于H点，又EH=BC=1=FH，即EF与BC所成的角为。（2）由已知得EFGB为平行四边形，延长FG、DC相交于N，连结BN。过C作于M，连结GM，则为所求二面角的平面角。FHEGNMCBAD在中，FOpABCDE18.（理）（1）点O、D分别为AC、PC的中点，又平面PAB，平面PAB，（2），又底面ABC，取BC的中点E，连结OE、PE，则平面POE，过O作于F点，连结DF，则面PBC，为OD与平面PBC所成的角，又与平面PBC所成角的
9、大小等于，在中，与平面PBC所成的角为。（3）由（2）知，平面PBC，为点O在面PBC内的射影，是PC的中点，若点F是的重心，则B、F、D三点共线，在面PBC内的射影为直线BD，即K=1。反之，当K=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，在平面PBC内的射影为的重心。（文）同理（1）和（2）。19.连结为直径，在中，又，同理；又，设球心为O，连结，在中，HABCDOEMD，。20.（1）如图，连结AC、BD交于点O，再连，由，且平面平面ABCE，并且交AC，平面，故，又平面，即得，在中，由于，由，即E为边CD的中点。（2）取OC的中点为M，连结，则，得平面，即，又因为，则，又，且面，则，在中，过作
10、于H点，则平面ABCE，由于，即得点到平面ABCE的距离。21.（1）连结AC，正四棱柱的底面是正方形，又面ABCD，面，又E、F分别是AB、BC的中点，面，故平面平面。（2）在面中作于点H，由（1）知面，线段的长即为所求，在中，又，；（3）。22.（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。乙甲（2）正四棱柱的底面边长为2a，高为a，其体积为V柱=，又正四棱锥的底面边长为2a，高长=，其体积为V锥=，即，即V柱V锥故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。
