1、5.3 对数函数的图像和性质 基础认知自主学习 对数函数ylogax(a0，a1)的图像和性质a的范围0a1a1图像性质定义域_值域_定点_，即x1时，y0单调性是(0，)上的减函数是(0，)上的增函数(0，)R(1，0)(1)从左向右，对数函数 yalog x(a0 且 a1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？提示：当 0a0 且 a1)的图像从左向右呈下降趋势，此时其图像下凸；当 a1 时，对数函数 yalog x(a0 且 a1)的图像从左向右呈上升趋势，此时其图像上凸(2)函数 yalog x 与 y1alog x 的图像有什么关系？提示：y1alog xaalog
2、x1log aalog x，所以它们关于 x 轴对称1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)函数y3x与函数ylog3x的图像关于直线yx对称()【解析】函数y3x与函数ylog3x互为反函数，图像关于直线yx对称(2)f(x)ln(x21)是偶函数()【解析】因为函数的定义域为(，1)(1，)，且f(x)ln(x21)f(x)，所以该函数是偶函数(3)f(x)log5(x3)的单调区间与yx3的单调区间相同()【解析】f(x)log5(x3)的单调递增区间是(3，)，yx3的单调递增区间是(，).2已知0.68log(x2)0.68log(12x)，则实数 x 的取值范围是()A(5，)B
3、(3，)C(2，)D(1，)【解析】选 C.原不等式等价于x20，12x0，x22.3函数 y(3a1)logx是(0，)上的减函数，则实数 a 的取值范围是_.【解析】由题意可得 03a11，解得13 a0，得 x0，令 ux2，则 u 在(，0)上是递减的，在(0，)上是递增的，又 y2log u 在(0，)上是递增的，则 y22log x 的递增区间是(0，).答案：(0，)能力形成合作探究类型一 比较对数的大小(逻辑推理、直观想象、数学运算)比较下列各组数中两个值的大小：(1)log0.31.8，log0.32.7.(2)log67，log76.(3)log3，log20.8.(4)l
4、og712，log812.(5)loga5.1，loga5.9(a0，且 a1).【解析】(1)考查对数函数 ylog0.3x，因为 00.3log0.32.7.(2)因为 log67log661，log76log76.(3)因为 log3log310，log20.8log20.8.(4)方法一：在同一坐标系中作出函数 ylog7x 与 ylog8x 的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log712log812.方法二：因为 log712log812lg 12lg 7 lg 12lg 8 lg 12（lg 8lg 7）lg 7lg 80，所以 log712log812.(5)当 a1 时，y
5、logax 在(0，)上是增函数，于是 loga5.1loga5.9；当 0a1 时，ylogax 在(0，)上是减函数，于是 loga5.1loga5.9.比较对数大小的思路(1)底数相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小(3)底数不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”【补偿训练】设 alog36，blog510，clog714，则()AcbaBbcaCacbDabc【解析】选 D.alog36log33log321log32，bl
6、og510log55log521log52，clog714log77log721log72.因为 log32log52log72，所以 abc.类型二 求对数函数的定义域(数学运算、逻辑推理)【典例】求下列函数的定义域：(1)ylog0.5（4x3）；(2)f(x)12xln(x1)；(3)f(x)log(2x1)(4x8).【解析】(1)要使函数有意义，需满足log0.5（4x3）0，4x30，即4x31，x34，解得34 x1，即函数 f(x)的定义域为x34x1.(2)函数式若有意义，需满足x10，2x0，即x1，x2，解得1x0，2x10，2x11，解得x12，x1.故函数 ylog(
7、2x1)(4x8)的定义域为x12x0，即 log2x1 或 log2x2 或 0 x12，所以 f(x)的定义域为(0，12)(2，).答案：(0，12)(2，)类型三 对数函数图像及应用(直观想象、逻辑推理)角度 1 画对数函数的图像【典例】画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)ylog3(x2).(2)y12log x.【思路导引】(1)用函数 ylog3x 图像平移得到(2)用 y12log x 图像翻折得到【解析】(1)函数 ylog3(x2)的图像可看作把函数 ylog3x 的图像向右平移 2 个单位得到的图像，如图.其定义域为(2，)，值域为 R
8、，在区间(2，)上是增加的(2)y12log x 122log x,0 x1,log x,x1其图像如图.其定义域为(0，)，值域为0，)，在(0，1上是减少的，在1，)上是增加的 画出函数 ylg|x1|的图像【解析】(1)先画出函数 ylg x 的图像(如图).(2)再画出函数 ylg|x|的图像(如图).(3)最后画出函数 ylg|x1|的图像(如图).角度 2 由图像求参数【典例】若函数 f(x)loga(xb)的图像如图，其中 a，b 为常数，则函数 g(x)axb 的图像大致是()【思路导引】利用单调性判断出 a 的范围，再利用特殊值判断 b 的范围【解析】选 D.由函数 f(x)
9、loga(xb)的图像可知，函数 f(x)loga(xb)在(b，)上是减函数，所以 0a1，令 x0，则 f(0)logab(0，1)，所以 0logab1，所以 loga1logabba.即 0b1，还是 0a0，且 a1)的图像经过点(1，0)，(a，1)和1a，1.2常见的函数图像的变换技巧(1)yf(x)yf(|x|).(2)yf(x)y|f(x)|.1如图所示，曲线是对数函数 ylogax 的图像，已知 a 取 3，43，35，110，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次为()A 3，43，35，110 B 3，43，110，35C43，3，35，110 D43，3，1
10、10，35【解析】选 A.作直线 y1 如图所示，显然该直线与 C1，C2，C3，C4 均相交，设相应交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4.又 logaa1，所以 x1，x2，x3，x4 的值即为 C1，C2，C3，C4 相应函数对应 a 的值又 3 43 35 110，故图像 C1，C2，C3，C4 相应 a 的值为 3，43，35，110.2已知函数 f(x)|log12 x|，则 f(x)的值域为_，增区间为_【解析】因为 f(x)|log12 x|122log x 0 x1log xx1，其图象如图所示所以 f(x)的值域为0，)；增区间为1，).答案：0，
11、)1，)3函数 f(x)4loga(x1)(a0，a1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是_.【解析】因为函数 yloga(x1)的图像过定点(2，0)，所以函数 f(x)4loga(x1)的图像过定点(2，4).答案：(2，4)【补偿训练】已知函数 yloga(xb)(a0，且 a1)的图像如图所示(1)求实数 a 与 b 的值(2)函数 yloga(xb)与 ylogax 的图像有何关系？【解析】(1)由图像可知，函数的图像过点(3，0)与点(0，2)，所以得方程 0loga(3b)与 2logab，解得 a2，b4.(2)函数 yloga(x4)的图像可以由 ylogax 的图像向左平
12、移 4 个单位得到类型四 与对数型复合函数的单调性有关的问题(直观想象、逻辑推理)角度 1 求对数型复合函数的单调性【典例】求函数 ylog2(x22x3)的单调区间【思路导引】把原函数用换元的思想分解为内函数与外函数，然后通过它们的单调性判断原函数的单调性【解析】由x22x30，得1x0 入手，分析 a 满足的条件【解析】令 u6ax，因为 a0 且 a1，所以 u 是减函数，又 f(x)在0，2上是减少的，则 ylogau 是增加的，所以 a1，由 u6ax 在0，2上恒大于 0，得 62a0.解得 a3.综上得 1a0)的单调性，在 a1 时相同，在 0a0，得 x1 或 x1.令 ux
13、21，则 u 在(，1)上递减，在(1，)上递增，又 ylog2u 是增函数，则 ylog2(x21)的递增区间是(1，).答案：(1，)2函数 ylog12(12x)的递增区间为_【解析】令 u12x，函数 u12x 在区间，12内递减，而 ylog12 u 是减函数，故函数 ylog12(12x)在，12内递增答案：，123求函数 y(log13 x)2log13 x 的单调区间【解析】令 ulog13 x，则 yu2u.由 yu2u(u12)214，得 yu2u 在(，12 上单调递减，在12，上单调递增由 log13 x12，得 x 3；由 log13 x12，得 00，a1)的值域时
14、，主要利用换元法分解原函数，然后再数形结合或者利用函数单调性求解2求解函数yA(logax)2BlogaxC(a0，a1)(A0)的值域时，主要利用换元法，然后结合一元二次函数的图像和 ylogax 的图像求解求下列函数的值域(1)ylog2(x24).(2)ylog12(32xx2).【解析】(1)ylog2(x24)的定义域是 R.因为 x244，所以 log2(x24)log242，所以 ylog2(x24)的值域为2，).(2)设 u32xx2(x1)244.因为 u0，所以 0u4.又 ylog12 u 在(0，)上为减函数，所以 log12 ulog12 42，所以 ylog12(
15、32xx2)的值域为2，).1函数 yloga13x7 的定义域为()A73，B73，C，73 D，73学情诊断课堂测评【解析】选 B.由题意 3x70，x73，故函数的定义域为73，.2若 a0 且 a1，则函数 yloga(x1)1 的图象恒过定点的坐标为()A(1，1)B(2，1)C(0，1)D(0，1)【解析】选 C.将 yloga x 左移 1 个单位，再上移 1 个单位，则得到 yloga(x1)1 的图象，由于 yloga x 过定点(1，0)，故 yloga(x1)1 过定点(0，1).3函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间是()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)【解析】选 D.函数 yf(x)的定义域为(，2)(2，)，因为函数 yf(x)是由 ylog12t 与 tg(x)x24 复合而成，又 ylog12t 在(0，)上单调递减，g(x)在(，2)上单调递减，所以函数 yf(x)在(，2)上单调递增4函数 yloga(x1)1 的图像恒过定点_.【解析】当 x2 时，yloga(21)1loga11011，故函数的图像恒过定点(2，1).答案：(2，1)5已知 loga12 1，则 a 的取值范围是_【解析】当 0a1 时，loga12 1logaa，所以 0a1 时，loga12 1.综上得，0a1.答案：0a1
