1、2.2直接证明与间接证明同步练习1设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案：B解析：解答：由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，所以，sin(BC)sin2A，sinAsin2A，而sinA0，sinA1，A，所以ABC是直角三角形分析：要判断三角形的形状，只要计算出最大的角的大小即可，利用已知条件得知A，所以ABC是直角三角形2.已知x、y为正实数，则()A2lgxlgy2lgx2lgy B2lg(xy)2lgx2lgyC2lgxlgy2lgx2lgy D
2、2lg(xy)2lgx2lgy答案：D解析：解答：2lg(xy)2(lgxlgy)2lgx2lgy.分析：简单题，考查对数和指数的运算法则3. 设a、bR，且ab，ab2，则必有()A1abBab1Cab1 D1ab答案：B解析：解答：ab2 (ab)分析：考查不等式，简单题4. 设0x1，则a，b1x，c中最大的一个是()AaBbCcD不能确定答案：C解析：解答：因为bc(1x)0，所以b2x0，所以b1xa，所以abx0，且xy1，那么()Axy2xy B2xyxyCx2xyy Dx2xyx0，且xy1，设y，x，则，2xy.所以有x2xyQ B.PQC.P0，即PQ分析：要比较P，Q的大
3、小，采用作差法，只需比较P-Q与0的关系8设a，b，m都是正整数，且ab，则下列不等式中恒不成立的是()A.1B.C.1D.1答案：B解析：解答：选B.可证明成立，要证明，由于a，b，m都是正整数，故只需证ab+amab+bm，即证(a-b)m0，因为ab，所以(a-b)m0成立.分析：本题考查分析法，不可以采用特殊值法，因为找到一个不满足不等式的值无法判定不等式恒不成立9. 设a=lg2+lg5，b=ex(xbB.a=bC.abD.无法确定答案：A解析：解答：选A.a=lg2+lg5=1，b=ex，当x0时，0bb.分析：简单题，因为b的恒小于1，所以ab10. 2.设a0，b0且ab-(a
4、+b)1，则()A.a+b2(+1)B.a+b+1C.a+b(+1)2D.a+b2(+1)答案：A解析：解答：选A.由条件知a+bab-1-1，令a+b=t，则t0且t-1，解得t2+2分析：要求a+b的范围，只要构造a+b的不等式即可，把ab利用基本不等式转化为a+b11. 设0x2，因为(1+x)(1-x)=1-x21，又0x0，所以1+x.分析：考查基本不等式，此题也可以采用特殊值法解题，令,a=1,b=,c=2,故选C12.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角答案：C
5、解析：解答：“最多有一个”的反设是“至少有两个”分析：最多有一个则有一个或者没有一个钝角，反设就是“至少有两个”13. 实数a，b，c满足a+2b+c=2，则()A.a，b，c都是正数B.a，b，c都大于1C.a，b，c都小于2D.a，b，c中至少有一个不小于答案：D解析：解答：选D.假设a，b，c均小于，则a+2b+c+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于分析：考查反证法，先假设问题成立，再通过数学推导出与已知条件，数学原理，定理等相悖，得出结论14.设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有
6、一个不小于2答案：C解析：解答：选D.假设a+，b+，c+都小于2，即a+2，b+2，c+2，所以0，b0，c0，所以=2+2+2=6.这与假设矛盾，所以假设不成立.分析：因为三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾15. 已知数列an，bn的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且ab)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是()A.0B.1C.2D.无穷多个答案：A解析：解答：选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，这样的n是不存在的，故假设不成立分
7、析：假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，推理得出矛盾16.如果ab，则实数a，b应满足的条件是_.答案：ab0解析：解答：要使ab成立，只需(a)2(b)2，只需a3b30，即a，b应满足ab0分析：考查分析法，从结论出发，一步步找出使已知条件成立的条件。17. 设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1+)_lg(1+a)+ lg(1+b).答案：解析：解答：因为(1+)2-(1+a)(1+b)=1+2+ab-1-a-b-ab=2-(a+b)=-(-)20，所以(1+)2(1+a)(1+b)，所以lg(1+)lg(1+a)+lg(1+b)分析：要比较两者大小，可先比较(1+)与的
8、大小，又需先比较(1+)2与(1+a)(1+b)的大小18.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_.答案：a|a-2或a-1解析：解答：假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得a|-2a0，b0，mlg，nlg，则m与n的大小关系为_答案：mn解析：解答：因为()2ab2ab0，所以，所以mn分析：考查基本不等式比较两个式子的大小，难度较大20. 如果abab，则实数a、b应满足的条件是_答案：ab且a0，b0解析：解答：abababab0a()b()0(ab)()0()()20只需ab且a，b都不小于零即可分析：考查分
9、析法，利用不等式的运算法则和基本不等式找出使已知条件成立的条件。21.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2+b2+c24S.答案：要证a2+b2+c24S，只要证a2+b2+(a2+b2-2abcosC)2absinC，即证a2+b22absin(C+30)，因为2absin(C+30)2ab，只需证a2+b22ab.显然上式成立.所以a2+b2+c24S解析：分析：考查分析法，利用正弦定理和不等式运算法则找出使已知条件成立的条件22. 10.已知an是正数组成的数列，a1=1，且点(，an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.（1）求数列an的通项公式.答案：由已知得
10、an+1=an+1，则an+1-an=1，又a1=1，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.（2）若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bnbn+2.答案：由(1)知，an=n，从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.因为bnbn+2-=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-2n0，所以bnbn+2.解析： 分析：要证bnbn+2，就是比较bnbn+2和的大小，比较两个数
11、的大小一般用作差法23.已知a，b，c(0，1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.答案：证明：假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.因为0a1，0b0.由基本不等式，得=.同理，.将这三个不等式两边分别相加，得+，即，这是不成立的，故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于解析： 分析：反证法，要证(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于，可以证明(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a的和大于等于是不成立的，这是反证法的基本思路24已知nN*，且n2，求证：.答案：要证，即证1n，只需证n1，n2，只需证n(n1) (n1)2，只需证nn1，只需证01最后一个不等式显然成立，故原结论成立解析： 分析：考查分析法，数学证明题一般采用分析法找解题思路，即找切入点，然后用综合法证明25. 如图所示，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上答案：证明：假设点M在线段CD上，则BDBMCMCD，且AB2BD2AD2，AC2AD2CD2，所以AB2BD2AD2BM2AD2CD2AD2AC2，即AB2AC2，所以ABAC矛盾，故假设错误所以点M不在线段CD上解析：分析：考查反证法，直接证明点M不在线段CD上较为困难，可以先假设点M在线段CD上，证明假设不成立来证明。