1、核心素养测评 七 对数与对数函数(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为 1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093【解析】选 D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361lg 3-8093.28,所以 x=1093.28,即与最接近的是 1093.2.已知 ab，函数 f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示，则函数 g(x)=logb(x+a)
2、的图象可能是()【解析】选 B.由题图可知 0a1cb B.bca C.cab D.cba【解析】选 C.由 a=log3e1,b=log3 1,则 cab.故选 C.4.若函数 y=a|x|(a0 且 a1)的值域为y|y1,则函数 y=loga|x|的图象大致 是()【解析】选 B.由于 y=a|x|的值域为y|y1,所以 a1,则 y=loga|x|在(0,+)上是增函数,又函数 y=loga|x|的图象关于 y 轴对称.因此 y=loga|x|的图象应大致为选项 B.5.(2020宁德模拟)已知函数 f(x)=lg(|x|+1),记 a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f
3、(1),则 a,b,c 的大小关系为 世纪金榜导学号()A.bca B.abc C.cab D.cb50=1,0log0.2 log0.20.2=1,所以 0log0.2 150.2,所以 ff(1)f(50.2),所以 bc0.所以 x1 或 x1 或 x0 且 1+1,所以 ln 0,所以 f(x)的值域为.答案:x|x1 或 x-1 【变式备选】函数 f(x)=的定义域为_.【解析】由题意得解得 0 x,故函数 f(x)的定义域为(0,.答案:(0,8.已知函数 f(x)=若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc的取值范围是_.世纪金榜导学号 【解析】作出函
4、数 f(x)的大致图象如图.由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c),不妨设 0abc,则-lg a=lg b=-c+6.所以 lg a+lg b=0,所以 ab=1,所以 abc=c.由图知 10c0,且 a1.(1)求 f(x)的定义域.(2)判断 f(x)的奇偶性,并予以证明.(3)当 a1 时,求使 f(x)0 的 x 的取值范围.【解析】(1)因为 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以解得-1x1.故所求函数的定义域为x|-1x1.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知 f(x)的定义域为x|-1x1 时,f(x)在定义域x|-1x0,得1,解得 0 x0
5、 且 a1).(1)求 f(x)的定义域.(2)判断函数 f(x)的单调性.【解析】(1)由 ax-10,得 ax1,当 a1 时,x0;当 0a1 时,x1 时,f(x)的定义域为(0,+);当 0a1 时,设 0 x1x2,则 1,故 0-1-1,所以 loga(-1)loga(-1).所以 f(x1)1 时,f(x)在(0,+)上是增函数.类似地,当 0abc1,且 aclogb clogc a B.logc blogb aloga c C.logb cloga blogc a D.logb alogc bloga c 【解析】选 B.方法一:取 a=5,b=4,c=3 代入验证知选项
6、B 正确.方法二:对选项 A,由 abc1,从而 loga bloga a=1,logb clogc c=1,从而选项 A 错误;对选项 B,首先 logc blogc c=1,logb alogb b=1,loga c=0,从而 logcblogb a,选项 B 正确;对于选项 C,由 loga blogc c=1,知 C 错误;对于选项 D,由选项 B 可知 logc blogb a,从而选项 D 错误.2.(5 分)(2020威海模拟)已知函数 f(x)=ln x+ln(a-x)的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的值域为()A.(0,2)B.0,+)C.(-,2 D.(-,0
7、【解析】选 D.因为函数 f(x)=ln x+ln(a-x)的图象关于直线 x=1 对称,所以 f(1-x)=f(1+x),即 ln(1-x)+ln(a-1+x)=ln(1+x)+ln(a-1-x),所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),整理得(a-2)x=0 恒成立,所以 a=2,所以 f(x)=ln x+ln(2-x),定义域为(0,2).又 f(x)=lnx+ln(2-x)=1n(2x-x2),因为 0 x2 时,0b1,若 logab+logba=,ab=ba,则 a=_,b=_.【解析】由于 ab1,则 logab(0,1),因为 logab+logb a=,即 l
8、ogab+=,所以 logab=或logab=2(舍去),所以=b,即 a=b2,所以 ab=(b2)b=b2b=ba,所以 a=2b,b2=2b,所以 b=2(b=0 舍去),a=4.答案:4 2 4.(10 分)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a0,a1),且 f(1)=2.世纪金榜导学号(1)求 a 的值及 f(x)的定义域.(2)求 f(x)在区间上的最大值.【解析】(1)因为 f(1)=2,所以 loga4=2(a0,a1),所以 a=2.由得-1x0 且 a1,设 t(x)=3-ax,则 t(x)=3-ax 为减函数,当 x0,2时,t(x)的最小值为 3-2a,当 x0,2时,f(x)恒有意义,即当 x0,2时,3-ax0 恒成立.所以 3-2a0.所以 a0 且 a1,所以 a 的取值范围是(0,1).(2)t(x)=3-ax,因为 a0,且 a1,所以函数 t(x)为减函数.因为 f(x)在区间1,2上为减函数,所以 y=logat 为增函数,所以 a1,x1,2时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),所以即 故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为 1.