1、 基础题组练1设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X1)p，则P(1X0)P(X1)P(X1)p，所以 P(1X0)P(X0)P(X1)p.2口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A. B.C2 D.解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X2)，P(X3)，所以E(X)23.3(2018安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其
2、中质量在98，104内的产品估计有()(附：若X服从N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X20.954 5)A4 093件 B4 772件C6 827件 D8 186件解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为x100，且2，则质量在96，104内的产品的概率为P(2X2)0.954 5，而质量在98，102内的产品的概率为P(X)0.682 7，结合对称性可知，质量在98，104内的产品的概率为0.682 70.818 6，据此估计质量在98，104内的产品的数量为10 0000.818 68 186(件)4已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E()，D()分别是()A6，
3、2.4 B2，2.4C2，5.6 D6，5.6解析：选B.由已知随机变量X8，所以8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.5某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A3 B.C2 D.解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P，未通过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，则P(X0)，P(X1)CP(X2)C，P(X3).所以随机变量
4、X的分布列为X0123P数学期望E(X)0123.6(2019辽宁五校联合体模拟)已知随机变量X服从正态分布N(72，4)，则P(X76)等于_(附：(P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5)解析：因为随机变量X服从正态分布N(72，4)，所以72，2，所以P(70X74)0.682 7，P(68X76)0.954 5，所以P(X76)0.022 75，所以P(X76)0.158 650.022 750.181 4.答案：0.181 47若随机变量的分布列如下表所示，E()1.6，则ab_0123P0.1ab0.1解析：易知a，b0，1，由0.1ab0.11，得ab0.8，又由E(
5、)00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，则ab0.2.答案：0.28某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设为回答正确的题数，则随机变量的数学期望E()_解析：由已知得的可能取值为0，1，2，3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以E()0123.答案：9(2019西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为5，15，(15，25，(25，35，(35，45，由此得到样
6、本的重量频率分布直方图(如图)(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.020.032a0.018)101，解得a0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均数为0.2100.32200.3300.184024.6(克)故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克(2)该盒子中小球重量在5，15内的概率为，则XB，X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)C，P(X1)
7、C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.(或者E(X)3.)10(2019长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益/万元2015107.5若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基
8、地的预期收益；(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p20.36，解得p0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5)0.16.所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4(万元)，所以基地的预期收益为14.4万元(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)200.6100.4a16a(万元)，E(Y)E(X)1.6a(万元)综上，当额外
9、聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以综合题组练1某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：瓶，nN)的函数解析式；(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为5)：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的
10、分布列及数学期望；若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由解：(1)当n30时，y30(73)120；当n29时，y(73)n3(30n)7n90.故y，nN.(2)X的可能取值为85，92，99，106，113，120，P(X85)0.05，P(X92)0.1，P(X99)0.1，P(X106)0.05，P(X113)0.1，P(X120)0.6.X的分布列为X859299106113120P0.050.10.10.050.10.6E(X)(85106)0.05(9299113)0.11200.6111.95.购进29瓶时，当天利润的数学期望为t(
11、25443)0.05(26433)0.1(27423)0.1(28413)0.052940.7110.75，因为111.95110.75，所以应购进30瓶2(应用型)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修每台机器出现故障的概率为.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有2名工人，求
12、该厂每月获利的均值解：(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则XB，所以P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C.所以X的分布列为X01234P设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为Xn，即X0，X1，X2，Xn，这n1个互斥事件的和事件，则n01234P(Xn)1因为90%，所以该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y万元，
13、则Y的所有可能取值为18，13，8.P(Y18)P(X0)P(X1)P(X2)，P(Y13)P(X3)，P(Y8)P(X4)，所以Y的分布列为Y18138P则E(Y)18138(万元)故该厂每月获利的均值为万元3(2017高考全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的
14、零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得i9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则
15、P(3Z3)0.997 4.0997 4160.959 2，0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6.故XB(16，0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的数学期望为EX160.002 60.041 6.(2)()如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的()由9.97，s0.212，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，因此的估计值为10.02.160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为0.09.
