1、5 对 数 函 数51 对数函数的概念&5.2 对数函数ylog2x的图像和性质基础认知自主学习 1对数函数的概念及两个特殊的对数函数(1)对数函数的相关概念：定义：形如_(a0，a1)的函数称为对数函数；自变量是x；定义域是_；底数是a.(2)两个特殊对数函数：常用对数函数，其形式为y_；自然对数函数，其形式为y_ylogax(0，)lg xln x含有对数符号“log”的函数一定是对数函数吗？提示：判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如 ylogax(a0，且 a1)的形式如：y2log2x，ylog5x5 都不是对数函数，可称其为对数型函
2、数2反函数(1)指数函数 yax(a0，a1)的反函数是对数函数 ylogaxa0，a1.(2)对数函数 ylogax(a0，a1)的反函数是指数函数 yaxa0，a1.3对数函数 ylog2x 的性质定义域(0，)值域_特殊点_，即x1时，y0函数值的正负当x1时，y0；当0 x1时，y0)是增函数，则实数 a 的取值范围是 a1.()提示：因为 ylog(a1)x(x0)是增函数，所以 a11，得 a2.(2)函数 ylog2x2 和 ylog2x3 都是对数函数()提示：由对数函数的定义知 ylog2x2 和 ylog2x3 都不是对数函数(3)对于 ylogax(0a1)，若 0 x0
3、；若 x1，则 logax0，且 a1)的函数才是对数函数，只有 A 是对数函数3函数 ylg x 的反函数是_【解析】因为指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax 互为反函数，ylg xlog10 x，所以 ylg x 的反函数为 y10 x.答案：y10 x4(教材例题改编)函数 f(x)logax 的反函数的图像过点(2，4)，则 f(8)_【解析】函数 f(x)logax 的反函数的图像过点(2，4)，所以 f(x)logax 的图像过(4，2)点，所以 loga42，所以 a2，所以 f(8)log283.答案：3能力形成合作探究类型一 对数函数的概念(数学抽象)1
4、下列函数中，是对数函数的是_yloga x(a0，且 a1)；ylog2x2；y8log2(x1)；ylogx6(x0，且 x1)；ylog6x.【解析】中真数不是自变量 x，不是对数函数中对数式后加 2，所以不是对数函数中真数为 x1，不是 x，系数不为 1，故不是对数函数中底数是自变量 x，而非常数，所以不是对数函数中底数是 6，真数为 x，系数为 1，符合对数函数的定义，故是对数函数答案：2若函数 f(x)(a2a1)log(a1)x 是对数函数，则实数 a_【解析】由 a2a11，解得 a0 或 a1.又底数 a10，且 a11，所以 a1.答案：13已知对数函数 yf(x)过点(4，
5、2)，求 f12及 f(2lg 2).【解析】设 ylogax(a0，且 a1)，则 2loga4，故 a2，即 ylog2x，因此 f12log212 1，f(2lg 2)log22lg 2lg 2.判断对数函数的思路【补偿训练】给出下列函数：ylog 23x2；ylog3(x1)；ylog(x1)x；ylogx.其中是对数函数的有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】选 A.不是对数函数，因为真数不是只含有自变量 x；不是对数函数，因为底数不是常数；是对数函数类型二 反函数问题(数学运算、逻辑推理)【典例】写出下列函数的反函数(1)y12x；(2)yln x；(3)ylog24
6、x；(4)y0.2x1.【思路导引】根据指数函数 yax 与对数函数 ylogax 的关系直接写出函数的反函数【解析】(1)指数函数 y12x，它的底数是12，它的反函数是对数函数 ylog 12x(x0).(2)对数函数 yln x，它的底数是 e，它的反函数是指数函数 yex.(3)对数函数 ylog24x，它的底数是 24，它的反函数是指数函数 y24x.(4)因为 y0.2x1，所以 y10.2x，xlog0.2(y1)，即 ylog0.2(x1).又因为函数 y0.2x1 的值域是y|y1，所以 ylog0.2(x1)的定义域为x|x1，即函数 y0.2x1 的反函数是 ylog0.
7、2(x1)(x1).反函数的求法(1)由 yax(或 ylogax)，解得 xlogay(或 xay).(2)将 xlogay(或 xay)中的 x 与 y 互换位置，得 ylogax(或 yax).(3)由 yax(或 ylogax)的值域，写出 ylogax(或 yax)的定义域求下列函数的反函数(1)y10 x；(2)y45x.【解析】(1)由 y10 x，得 xlg y，所以其反函数为 ylg x；(2)由 y45x，得 xlog 45y，所以其反函数为 ylog 45x.【拓展延伸】1.互为反函数的定义域与值域互换2互为反函数的图像关于直线 yx 对称【拓展训练】1已知函数 yg(x
8、)的图像与函数 ylog3x 的图像关于直线 yx 对称，则 g(2)的值为()A9 B 3 C 2 Dlog32【解析】选 A.由题意知，yg(x)与 ylog3x 互为反函数，故 g(x)3x，故 g(2)329.2若函数 yf(x)是函数 yax(a0，且 a1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则 f(x)()Alog2x Blog 12xC2xDx2【解析】选 B.由题意知(a，a)在 yax 上，可得 aa a a12，即 a12.因为 y12x的反函数为 ylog 12x，所以 f(x)log 12x.类型三 函数 f(x)log2x 的图像与性质(直观想象、逻辑推理)角度 1
9、f(x)log2x 的定义域与函数值【典例】1.已知函数 f(x)log2(x1)，若 f(a)1，则 a()A0 B1 C2 D3【解析】选 B.f(a)log2(a1)1，所以 a12，所以 a1.2设函数 f(x)2x，x0，log2x，x0，则 f(f(1)()A2 B1 C2 D1【解析】选 D.因为10，所以 f12log212 log2211.故 f(f(1)1.3求函数 f(x)log2(1x)log2(1x)的定义域【解析】f(x)log2(1x)log2(1x)，由1x0，1x0，得1x1，所以函数 f(x)的定义域为x|1xf(1)，求 x 的取值范围【思路导引】利用 f
10、(x)log2x 的图像，借助它的单调性脱去函数符号 f，然后再解不等式【解析】作出函数 f(x)log2x 的图像如图由图像知 f(x)log2x 在(0，)上是增函数因为 f(x1)f(1)，所以 x11，解得 x2，所以 x 的取值范围是(2，).角度 3 解与函数 f(x)log2x 有关的最值【典例】根据函数 f(x)log2x 的图像和性质，求 ylog2(2x1)在 x34，52上的最值【思路导引】利用 f(x)log2x 的图像，把不等式化成同底的对数式，然后借助单调性求解【解析】因为34 x52，所以12 2x14，所以 log212 log2(2x1)log24，所以1lo
11、g2(2x1)2，故函数 ylog2(2x1)在 x34，52上的最小值为1，最大值为 2.函数 f(x)log2x 图像与性质的两个应用(1)与函数 f(x)log2x 有关的图像的画法：列表描点法：列表，描点，连线平移变换法：左加右减，上加下减对称变换法：yf(x)与 yf(x)关于 y 轴对称；yf(x)与 yf(x)关于 x 轴对称；yf(x)与 yf(x)关于原点对称(2)常见性质与题型：函数 f(x)log2x 是最基本的对数函数它在(0，)上是单调递增的利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小1根据函数 f(x)log2x 的图像和性质，试比较 log245 与 lo
12、g234 的大小【解析】函数 f(x)log2x 在(0，)上为增函数，因为45 34，所以 log245 log234.2根据函数 f(x)log2x 的图像和性质，解不等式 log2(2x)0.【解析】log2(2x)0，即 log2(2x)log21，因为函数 ylog2x 为增函数，所以 2x1，所以 xf(2)，求 a 的取值范围【解析】函数 ylog2x 的图像如图所示函数 ylog2x 是增函数，因为 f(a)f(2)，即 log2alog22，所以 a2，所以 a 的取值范围为(2，).备选类型 解对数方程(数学运算、逻辑推理)【典例】解方程：log2(x2x)log2(x1)
13、2.【思路导引】利用对数式的性质把 log2(x1)2 化成同底 log2(4x4)，然后求解【解析】log2(x2x)log2(x1)2，即为 log2(x2x)log2(4x4)，可得 x2x4x4，即 x23x40，解得 x4 或 x1，当 x4 时，满足 x10，x2x0 成立；当 x1 时，x10，对数式不成立所以原方程的解为 x4.解对数方程主要有两种方式：1利用指对式互化求解方程2化成同底的方程，利用真数相等求解 已知 f(x)x3，x0，log2x，x0，若 f(a)1，则实数 a()A1 或 2 B1C2 D1 或 2【解析】选 C.当 a0 时，f(a)a31，解得 a1，
14、10，故 a1 舍去；当 a0 时，f(a)log2a1，解得 a2，20，故 a2.1函数 ylog 12x 的图像大致是()学情诊断课堂测评【解析】选 D.因为对数函数 ylog 12x 的底数小于 1，所以 ylog 12x 在(0，)上为减函数，又对数函数的图像必过(1，0)点，故选 D.2(2020北京高考)函数 f(x)1x1 ln x 的定义域是_【解析】由x10，x0，得 x0.答案：(0，)3若 f(x)log2x，x2，3，则函数 f(x)的值域为_.【解析】因为 f(x)log2x 在2，3上是单调递增的，所以 log22log2xlog23，即 1log2xlog23.答案：1，log234(教材练习改编)函数 ylog 12x 的反函数是_【解析】由 ylog 12x，得 x12y，所以其反函数为 y12x.答案：y12x
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