1、4.2.1直线与圆的位置关系课后训练案巩固提升A组1.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为()A.0或2B.0或4C.2D.4解析:(法一)圆x2+y2=m的圆心坐标为(0,0),半径长r=m(m0),由题意得|m|2=m,即m2=2m,又m0,所以m=2.(法二)由x+y+m=0,x2+y2=m消去y并整理,得2x2+2mx+m2-m=0.因为直线与圆相切,所以上述方程有唯一实数解,因此=(2m)2-8(m2-m)=0,即m2-2m=0,又m0,所以m=2.答案:C2.过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.23B
2、.4C.25D.5解析:当圆心和点(1,1)的连线与AB垂直时,弦心距最大,|AB|最小.易知弦心距的最大值为(2-1)2+(3-1)2=5,故|AB|的最小值为29-5=4.答案:B3.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时,a等于()A.2B.2-2C.2-1D.2+1解析:圆心C(a,2)到直线l的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2,所以|a+1|22+2322=4,解得a=-1-2(舍去)或a=2-1.答案:C4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为
3、()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1解析:设点(x,y)与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,则y-1x+1=-1,x-12-y+12-1=0,解得x=2,y=-2,从而可知圆C2的圆心坐标为(2,-2),又知其半径为1,故所求圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案:B5.已知点P(a,b)(ab0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,则()A.ml,且l与圆相交B.ml,且l与圆相切C.ml,且l与圆相
4、离D.ml,且l与圆相离解析:点P(a,b)在圆内,a2+b2r2r=r,故直线l与圆相离.答案:C6.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为.解析:设圆心为(a,0)(a0),则|3a+4|32+42=2,a=2,故所求方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.答案:x2+y2-4x=07.过点M(3,2)作圆O:x2+y2+4x-2y+4=0的切线方程是.解析:由圆的方程可知,圆心为(-2,1),半径为1,显然所求直线斜率存在,设直线的方程为y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,由|-2k-1-3k+2|k2+(-1
5、)2=1,解得k=0或k=512,所以所求直线的方程为y=2和5x-12y+9=0.答案:y=2或5x-12y+9=08.导学号96640119已知x,y满足方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值为.解析:方程x2+y2+4x-2y-4=0可化为(x+2)2+(y-1)2=9,它表示圆心为A(-2,1),半径为3的圆,如图所示.x2+y2=(x-0)2+(y-0)2)2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然,连接OA并延长交圆于点B,则|OB|2即x2+y2的最大值,为|OA|+3|2=(5+3)2=14+65.答案:14+659.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:
6、mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求l的倾斜角.(1)证明:由已知直线l:y-1=m(x-1),知直线l恒过定点P(1,1).12=15,P点在圆C内,直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组x2+(y-1)2=5,mx-y+1-m=0,消去y,得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0,设x1,x2是一元二次方程的两个实根,|AB|=1+m2|x1-x2|,17=1+m216m2+201+m2,m2=3,m=3,l的倾斜角为3或23.10.导学号96
7、640120已知O:x2+y2=1和定点A(2,1),由O外一点P(a,b)向O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a,b间满足的等量关系;(2)求线段PQ的最小值.解:(1)连接OP,Q为切点,PQOQ.由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.又|PQ|=|PA|,|PQ|2=|PA|2,即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,整理,得2a+b-3=0.(2)由2a+b-3=0,得b=-2a+3,|PQ|=a2+b2-1=a2+(-2a+3)2-1=5a2-12a+8=5a-652+45,当a=65时,|PQ|min=255,即线段PQ的最小值为255.
8、B组1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能解析:由题意,得1a2+b21,即a2+b21.点P(a,b)在圆外.答案:B2.已知圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于5,则k的取值范围是()A.12,2B.-2,-12C.(-,-2)-12,12(2,+)D.-,-12(2,+)解析:圆x2+y2-4x-2y-15=0的圆心为(2,1),半径为25,圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于5,5|-5k
9、+5|k2+135,k的取值范围是(-,-2)-12,12(2,+).答案:C3.(2016吉林长春外国语学校期中)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()A.0k5B.-5k0C.0k13D.0k5解析:圆x2+4x+y2-5=0化为(x+2)2+y2=9,圆与y轴正半轴交于(0,5),因为过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,如图,kMAkkMB,0k51,0k0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线
10、l过点P(-2,4)?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(mZ).由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,所以|4m-29|5=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0与圆交于A,B两点,故=4(5a-1)2-4(a2+1)0,即12a2-5a0.由于a0,解得a512,所以实数a的取值范围是512,+.(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为-1a,l的方程为y=-1a(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0,解得a=34.由于34512,+,故存在实数a=34,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.