1、辽宁省朝阳市凌源市联合校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.直线x+y-6=0的倾斜角为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线的倾斜角【详解】直线x+y-6=0的斜率k=，设其倾斜角为（0），则tan，即直线x+y-6=0倾斜角为故选：C【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题2.l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C. D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的
2、面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知直线与直线垂直，则的关系为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，所以，即选C【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.4.已知直线l1：ax2y80与l2：x(a1)ya210平行，则实数a的取值是（ ）A. 1或2B. 1C. 0或1D. 2【答案】A【解析】【分析】【详解】，选A.【点睛】本题考查由两直线平行求参数.5.直线l：与圆C：交
3、于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CPl时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.抛物线的一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.【详解】设，抛物
4、线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.7.设直线过点，其斜率为，且与圆相切，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】直线为，圆心到直线距离，解出故选8.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.【详解】椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，因此，实数的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准
5、方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是（）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】根据双曲线经过的点和离心率，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得虚轴长.【详解】将点代入双曲线方程及离心率为得，解得，故虚轴长，故本小题选A.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是而不是.10.已知直线，则与之间的距离为（ ）A. B. C. 7D. 【答案】D【解析】【分析】化简的方程，再
6、根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离.【详解】，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为， 故选D.【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.11.抛物线的焦点的坐标是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：本题已知：，则:，又焦点在y轴的正半轴上得：考点：已知抛物线方程求焦点坐标12. ABC的两个顶点为A（-4,0），B（4,0），ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）A. （y0）B. （y0）C. （y0）D. （y0）【答案】A【解析】试题分析：由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以
7、及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为（），故正确选项为A考点：椭圆的概念【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点二、填空题13.已知集合M=y|y=x2，xR，则MN=_【答案】0，+）【解析】【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可【详解】M=y|y0，=R，MN=0，+）故答案为：0，+）【点睛】本题考查了描述法的定义，考查
8、了计算能力，属于基础题14.如果双曲线的焦点在轴上，焦距为8，则实数_【答案】【解析】【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m方程，即可得到结论【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，则=1，半焦距为4，则m3m16，m4故答案为：4【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题15.若实数，满足，那么的最大值是_【答案】【解析】【详解】解：满足等式（x-2）2+y2=3的图形如下图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在RtOBC中，BC=，OC=2易得BOC=60此时=16.设双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，
9、则_.【答案】【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程，将渐近线与圆相切，转化为圆心到渐近线的距离等于圆的半径，于此可求出的值。【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，且，圆心到渐近线的距离为，化简得，解得，故答案为：。【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线以及直线与圆相切的问题，问题的关键就是将双曲线的渐近线方程表示出来，同时也要注意直线与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题。三、解答题17.已知直线l方程为（m+2）x（m+1）y3m70，mR（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程【答案】（1）P（4，1
10、）,证明见解析；（2）x +y-5=0或y=【解析】【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标（2）先求出直线l在x轴，y轴上的截距，再根据直线l在x轴，y轴上的截距相等，求得m的值，可得直线l的方程【详解】（1）直线l方程为（m+2）x（m+1）y3m-7=0，mR，即m（xy3）+2xy7=0，令xy3=0，可得2xy7=0，联立方程组求得，可得直线l恒过定点P（4，1）（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，令x=0，求得y=；令y=0，求得，=，求得m=或，直线l方程为x+y=0或x+y=0，即x +y5=0或y=【点睛】本题主要考查直线经
11、过定点问题，直线的截距的定义，属于中档题18.已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值【答案】（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】【分析】（1）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值【详解】（1）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，可得直线l的斜率为=2，则直线l的方程为y3=2（x1），即y=2x+1；（2）若直线l与圆C：（xa）2+（y+a）2=5相切，可得圆心（a，a）到直线l的距离为，即有
12、=，解得a=2或【点睛】本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题19.已知圆（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程；（3）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）设，根据圆心与关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由圆的弦长公式，求得，根据斜率分类讨论，求得直线的斜率，即可求解；（3）由直线，得直线过定点,根据时，弦长最短，即可求解【详解】（1）由题意，圆的圆心，半径为，设，因为圆心与关于直线对称，所以，解得，则，半径，
13、 所以圆标准方程为： （2）设点到直线距离为，圆的弦长公式，得，解得，当斜率不存在时，直线方程为，满足题意当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，所以直线的方程为，综上，直线方程为或 （3）由直线，可化为，可得直线过定点,当时，弦长最短，又由，可得，此时最短弦长为【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的弦长公式，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题20.求满足下列条件的曲线的标准方程：（1），焦点在轴上的椭圆；（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上抛物线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1
14、）先依据条件求出，再依的关系求出，最后写出方程；（2）先求出直线与坐标轴的交点，即得抛物线的焦点坐标，因此可以写出方程。【详解】（1）由，解得，所以，故所求的椭圆方程为；（2）直线与坐标轴的交点坐标分别是，当焦点坐标为时，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：当焦点坐标为时，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：。【点睛】本题主要考查利用椭圆性质求椭圆方程，以及利用抛物线性质求抛物线方程。21.（分）已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点（）求椭圆的方程（）当直线的斜率为时，求的面积【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方
15、程；（2）设直线l的方程为y=x1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；解析：（）由已知，椭圆方程可设为，长轴长为，离心率，故所求椭圆方程为（）因直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为，设，由，得，解得，22.已知抛物线C：y2=2px（p0）焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HGHE为定值，并求出定值【答案】（1）y2=4x（2），证明见解析【解析】【分析】（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可；（2）设点，可得，即可得HGHE=【详解】（1）由题意得：，因为点B的横坐标为4，且B在x轴的上方，所以，因为AB的斜率为，所以，整理得：，即，得p=2，抛物线C的方程为：y2=4x（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=1，直线l的方程：，由，解得或x=4，于是得设点，又题意n1且n-4，所以直线PA：，令x=1，得，即，同理可得：，HGHE=【点睛】本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题