1、长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学（文）试题命题学校：高新一中审题学校：师大附中注意事项： （1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上（3）选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效（5）考试结束，将本试题
2、卷和答题卡一并交回第I卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1复数，则复数的虚部为（ ）A2 B C D2已知集合和，则集合M是集合N的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数在定义域内的零点的个数为（ ）A0 B1 C2 D3 4过点P（1,2）的直线l平分圆C：的周长，则直线l的斜率为（ ）A B1 C D5如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A B
3、4 C D6角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则（ ）A B C D7数列的前n项和为，首项为a，且若实数满足则的最小值是（ ）A1 BC5 D18已知两个等差数列和的前n项和分别是和，且，则等于（ ）A2BCD9设函数的最小正周期为，则（ ）A在单调递减 B在单调递增 C在单调递增 D在单调递减10椭圆上存在一点P，使得它对两个焦点，张角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D第II卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11如图，有一个算法流程图在集合中随机地取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间内的概
4、率值为 12某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）则这100名同学中学习时间在6至8小时之间的人数为_13设a，b，c为单位向量，a，b的夹角为600，则（a + b + c）c的最大值为 14给定集合An =1,2,3,n()，映射满足：当时，；任取，若，则有则称映射是一个“优映射”例如：用表1表示的映射是一个“优映射”表1 表2i123 f(i)231i1234f(i)3 （1）已知表2表示的映射是一个“优映射”，请把表2补充完整 （2）若映射是“优映射”，且方程的解恰有3个，则这样的“优映射”的个数是 15.（考生注意
5、：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为= ；B（不等式选讲选做题）关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 ； C（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16（本小题满分12分）三角形的三个内角A、B、C所对边的
6、长分别为、，设向量，若/（I）求角B的大小；（II）求的取值范围ABCDEF17（本小题满分12分）如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，（）求证：BE/平面ADF；（）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？18（本小题满分12分）设点P的坐标为，直线l的方程为请写出点P到直线l的距离，并加以证明19（本小题满分12分）一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml和700ml两种型号,某天的产量如右表(单位:个):型号甲样式乙样式丙样式500ml2000z3000700ml300045005000按样式进行分
7、层抽样，在该天生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个.（I）求z的值；（II）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml杯子的概率20（本小题满分13分）已知圆C1的方程为，定直线l的方程为动圆C与圆C1外切，且与直线l相切（）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值21（本小题满分14分）已知函数f(x)=xax + (a1)，() 若，讨论函数的单调性；（II）已知a
8、=1，若数列an的前n项和为，证明：长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学（文）答案第I卷（选择题 共50分）一、选择题： CDCA DBAB DB第II卷（非选择题 共100分）二、填空题：11 0.8 ；12 30 ；13；14（1） 2，4，1 ，（2） 10 ； 15.A；B；C 三、解答题：16（本小题满分12分）解（I）由/知，即得，据余弦定理知 ，得 6分（II） 9分因为，所以，得 10分所以，得，即得的取值范围为 12分17（本小题满分12分）解（）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM因为CE/DF，所以四边形CEMD是平行四边形
9、可得EM = CD且EM /CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE/AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE/平面ADF 6分 ABCDEF（）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且由可得FD = 4，从而得DE = 28分因为，所以平面CDFE所以， 10分因为，所以综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为12分18（本小题满分12分）解：点P到直线l的距离公式为 3分证法1：过点P作直线l的垂线，垂足为H若A = 0，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为，而，可知结论是成立的 5分若，则直线PH的斜率为，方程为，与直线l的方程联立可得 解得， 9分据两点间距离公式得
10、 12分证法2：若B = 0，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为 ；若，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为；若，过点P作y轴的垂线，交直线l于点Q，过点P作直线l于y轴的垂线，交直线l于点Q，设直线l的倾斜角为，则因为 ， ，所以，综上，证法：过点P作直线l的垂线，垂足为H则直线PH的一个方向向量对应于直线l的一个法向量，而直线l的一个法向量为，又线段PH的长为d，所以 或设点H的坐标为，则，可得 把点H的坐标代入直线l的方程得 整理得 ，解得证法：过点P作直线l的垂线，垂足为H在直线l上任取一点Q，直线PH的一个方向向量为，据向量知识，向量在向量上的投影的绝对值恰好是线段PH
11、的长，因此 因为，而点满足，所以因此19（本小题满分12分）解: （I）设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得, ,所以x=40. -2分则100402535，所以，n=7000， 故z2500 -6分（II）设所抽样本中有m个500ml杯子,因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2 -9分也就是抽取了2个500ml杯子,3个700ml杯子,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),(
12、(S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,至少有1个500ml杯子的概率为. -12分20（本小题满分13分） 解（）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则 ，且 2分 可得 A由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程 5分（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为由于该直线经过点A（0,6），所以有，得因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为 9分把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为所以 13分21（本小题满分14分）解() 可知的定义域为有 2分因为，所以故当时；当或时综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加. 6分（II）由，知，所以可得 分所以 因为 11分所以 综上，不等式得证 14分