1、规范练1(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2022广东肇庆模拟)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2A.(1)求角A的大小;(2)若a=,求ABC周长的最大值.2.(12分)(2022海南嘉积中学模拟)数列an的公比为2,且a4是a3与a5-8的等差中项,a2=4,S3=14且an为递增数列,在中任选一个,补充在下列横线上并解答.已知等比数列an中,Sn为数列an的前n项和,若.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(n+1)log2an,记数列的前n项和为Tn,求证:Tn1.3.(12分)(2022山东枣
2、庄一模)已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题,小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案就会随机猜测,已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是,在他做完单项选择题后,从卷面上看,在题目答对的情况下,求他知道单项选择题正确答案的概率.(2)假设小明在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为,选择两个选项的概率为,选择三个选项的概率为.已知
3、该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只能根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求:P(X=0);X的分布列及数学期望.4.(12分)(2022浙江19)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,ABDC,DCEF,AB=5,DC=3,EF=1,BAD=CDE=60,二面角F-DC-B的平面角为60.设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明:FNAD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.规范练11.解 (1)由正弦定理,得b2+c2+bc=a2,即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cos A=-,又0A,所以A=.(2)由a=
4、和(1)可知b2+c2+bc=3,则3=(b+c)2-bc(b+c)2-,得4(b+c)2,即b+c2,所以a+b+c2+,当且仅当b=c=1时,等号成立,所以ABC周长的最大值为2+.2.(1)解 选条件:因为a4是a3与a5-8的等差中项,即2a4=a3+a5-8,依题意,16a1=4a1+16a1-8,解得a1=2,所以数列an的通项公式是an=2n.选条件:设an的公比为q,依题意,解得因为数列an是递增数列,于是得所以数列an的通项公式是an=2n.(2)证明 由(1)知an=2n,则bn=(n+1)log2an=(n+1)log22n=n(n+1),因此,于是有Tn=+=1-,因为
5、n1,则有0,所以Tn1.3.解 (1)记事件A为“题目答对了”,事件B为“知道正确答案”,则P(A|B)=1,P(A|)=,P(B)=P()=.由全概率公式P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=1+,所求概率为P(B|A)=.(2)设事件Ai表示小明选择了i个选项,i=1,2,3,C表示选到的选项都是正确的,则P(X=2)=P(A1C)=P(A1)P(C|A1)=,P(X=5)=P(A2C)=P(A2)P(C|A2)=,P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=.P(X=0)=.随机变量X的分布列为X025PE(X)=0+2+5.4.(1)证明 在直角梯形ABCD中,ABDC
6、且BAD=60,DCBC,又DC=3,AB=5,BC=2.同理,在直角梯形CDEF中,CF=2,BC=CF,又CDCF且CDBC,BCF为二面角F-DC-B的二面角,BCF=60,BCF为等边三角形.又N为BC的中点,FNBC.又CF平面BCF,CB平面BCF且CBCF=C,DC平面BCF.又FN平面BCF,FNDC.又DC平面ABCD,BC平面ABCD且DCBC=C,FN平面ABCD.又AD平面ABCD,FNAD.(2)解 取AD中点P,连接NP.以N为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.BC=2,AB=5,B(0,0),A(5,0),F(0,0,3),D(3,-,0),C(0,-,0).又(-3,0,0)=(-1,0,0),E(1,0,3),又M为EA中点,M3,=3,-.设n=(x,y,z)为平面ADE的一个法向量,且=(-2,-2,0),=(-4,-,3),取y=,则x=-3,z=-3,n=(-3,-3).cos=-.设直线BM与平面ADE所成角为,则sin =|cos|,直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.