1、专题01 数列（重点）一、单选题1下列有关数列的说法正确的是（）A同一数列的任意两项均不可能相同B数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C数列2，4，6，8可表示为D数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（）A13BC3
2、或D或13【答案】D【分析】根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案.【解析】a是4与6的等差中项，故，b是与的等比中项，则，则，或.故选：D3在等比数列中，已知，则（）A4B6C8D10【答案】A【分析】用基本量表示出来可以求；或者考虑下标和公式.【解析】在等比数列中，解得，则.故选：A.4已知等比数列的前项和为，则实数的值是（）AB3CD1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【解析】等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，则所以因为为等比数列，所以，即解得，经检验符合题意.故选：C5设等差数列an的前n项和为Sn，若S36，S412，则S7（）A30B36C42D48【答案】
3、C【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.【解析】设an首项为，公差为d.因S36，S412，则.则.故选：C6已知等比数列的前项和为，若，公比，则（）ABCD【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.【解析】由等比中项的性质得，又，解得或，当时，或（舍），当时，（舍），所以，此时，所以，故选：D.7利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（）A1项Bk项C项D项【答案】D【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项故选：D8已知数列的通项公式为
4、，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】利用递增数列的定义即可.【解析】由 ， ，即是 小于2n+1的最小值， ，故选：C9已知数列满足，则（）ABCD【答案】B【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可.【解析】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，则，故.故选：B.10若数列满足，则数列中的项的值不可能为（）ABCD【答案】D【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【解析】数列满足，依次取代入计算得，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所
5、有可能取值为：.故选：D.11已知数列的前n项和为，且，则下列说法中错误的是（）ABC是等比数列D是等比数列【答案】C【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A；结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，构造出，即可判断D【解析】由题意数列的前项和为，且，则，即，所以即选项A正确；因为，当 时，-可得，即，当时，不满足 ，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，则，故，故B正确；由得：所以令，则所以所以，即，故是首项为，公比为4的等比数列，D正确，故选：C.12图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直
6、角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（）ABCD【答案】B【分析】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项.【解析】由题意知，且都是直角三角形，所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由.故选：B13已知数列和首项均为1，且，数列的前n项和为，且满足，则（）A2019BC4037D【答案】D【分析】先利用条件得到，进而得到，代入，利用与的关系推得是等差数列，进而求出，代入即可求得结果.【解析】解：，另外：，可得，.，即，又，数列是首项为1，公差为2的等差数列，故，.故选：D.14已知数列满足，数列
7、的前项和为，若对任意的正整数，都有，则的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意累加法求得，再根据裂项相消求和解决即可.【解析】当，所以，解得：，当n=1适合因为，所以，又因为是单调递增数列，所以有，对任意的正整数，都有，所以，故选：C二、多选题15已知数列，则这个数列的通项公式可能是（ ）ABCD【答案】BC【分析】根据各选项的通项公式写出前几项，判断是否与已知数列前几项相同，即可确定正确选项.【解析】A，取前六项得0，1，0，1，0，1，不满足条件；B，取前六项得1，0，1，0，1，满足条件；C，取前六项得1，0，1，0，1，满足条件；D，取前三项得1，0，不满足条件；故选：BC.1
8、6数列an的前n项和为Sn，则有（）ASn3n1BSn为等比数列Can23n1D【答案】ABD【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.【解析】依题意，当时，当时，所以，所以，所以.当时，；当时，符合上式，所以.，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD17正项等比数列的前项和为，已知，下列说法正确的是（）AB是递增数列C为等比数列D是等比数列【答案】BC【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意求出、的值，可判断A选项；利用数列的单调性可判断B选项；求出的表达式，利用等比数列的定义可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项.【解析】设等比数列的公
9、比为，则，即，则.对于A选项，A错；对于B选项，对任意的，故数列是递增数列，B对；对于C选项，则，所以，故数列为等比数列，C对；对于D选项，故数列是等差数列，D错.故选：BC.18设等差数列的前n项和为，公差为，则（）AB当时，取得最大值CD使得成立的最大自然数是15【答案】ABC【分析】根据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别判断.【解析】因为，所以，则，当时,取得最大值，因为，所以使得成立的最大自然数是，故选：ABC19已知等差数列满足，前项和，则（）A数列的通项公式为B数列的公差为C数列的前项和为D数列的前22项和为【答案】BCD【分析】通过基本量计算得和d，可判断ABC；用裂项
10、相消法求和可判断D.【解析】由题知，解得，则，故A错，BC正确；记的前n项和为，因为，所以所以，故D正确.故选：BCD20设，若，则称序列是长度为n的01序列若，则（）A长度为n的01序列共有个B若数列是等差数列，则C若数列是等差数列，则D数列可能是等比数列【答案】AC【分析】A选项，可根据分步乘法计数原理求出；B选项，根据等差数列定义得到为定值，分与两种情况讨论求出答案；C选项，根据数列是等差数列，推导出；D选项，假设数列是等比数列，推出矛盾.【解析】由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；因为数列是等差数列，所以为定值，当，则，则，当，则，则，B错误；若数列是等差
11、数列，则为定值，只有能满足要求，故，C正确；若数列是等比数列，则为定值，且，因为，所以，所以，若，则，所以，舍去；若，其中，解得：，其中，解得：，故不是定值，数列不可能是等比数列，D错误.故选：AC三、填空题21设是等比数列，且，则的值是_.【答案】32【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，即可求得答案.【解析】由是等比数列，设公比为q，且，则可得，故 ，所以，故答案为：32.22设等比数列的首项为1，公比为q，前n项和为.令，若也是等比数列，则_.【答案】【分析】根据等比数列的定义，由即可求得.【解析】当时，则，（是常数），即不是等比数列,所以.所以，则有，即，即，所以 ，解得或(舍
12、).故答案为：.23已知是等比数列，公比大于1，且，记为在区间中的项的个数，则数列的前30项的和的值为_【答案】【分析】由题知，再根据题意求解的前30项，并求和即可.【解析】解：设等比数列的公比为，因为是等比数列，所以，解得，或，（舍去），所以，所以对应区间为， 则；，对应的区间分别为，都只有一项，则；，对应的区间分别为，都只有，两项，则；，对应的区间分别为，都只有，三项，即；，对应的区间分别为，都只有，四项，；所以故答案为：24在数列中，数列满足，若，则数列的前2022项和为_【答案】【分析】将数列的前2022项和分解为奇数项和与偶数项和进行求解.【解析】由已知得，所以，即数列前2022项中
13、偶数项的和为：.又由已知得，所以，即奇数项为公比为1的等比数列，即，即前2022项中奇数项和为1；综上所述，前2022项和为故答案为：四、解答题25记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的定义，写出数列的通项公式，整理可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；（2）利用分组求和法以及等差数列求和公式，可得答案.【解析】（1）由是公差为的等差数列，且，则，即，当时，两式相减可得：，整理可得，故，将代入上式，故的通项公式为.（2）由，则.26已知数列的通项公式为.(1)判断是不是数列中的项；(2)判断数列
14、中的项是否都在区间内；(3)判断在区间内有没有数列中的项.【答案】(1)不是(2)数列中的项都在区间内(3)有【分析】（1）先化简，再令可求解问题；（2）通过求的范围可判断；（3）通过解不等式可求解.(1)因为，所以由，解得.因为不是正整数，所以不是数列中的项.(2)因为，所以，所以数列中的项都在区间内.(3)令，即，则解得.又，所以.故在区间内有数列中的项，且只有一项，是第二项，即.27设数列的前项和为，已知，_.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：数列是以为公差的等差
15、数列；.【答案】(1)选择，都有；(2)证明见解析.【分析】（1）选择，根据等差数列的通项公式，求得；再根据与之间的关系即可求得结果；选择，利用的关系消去，构造等差数列，与同理，即可求得结果；（2）根据（1）中所求求得，再利用裂项求和法求得，即可证明.【解析】（1）若选择数列是以为公差的等差数列，显然其首项为故，故；当时，当时，满足.故的通项公式为；若选择即，整理得：故，即数列是首项为，公差为的等差数列，与选择相同，故的通项公式为.（2）根据（1）中所求可得：，则故又，故可得.28已知数列的首项，.(1)求证：一定存在实数，使得数列是等比数列.(2)是否存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成
16、等比数列？如果存在，请给以证明：如果不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）结合已知条件，利用等比数列定义即可证明；（2）首先假设成立，并结合（1）中结论求出的通项公式，进而可得到和，最后利用基本不等式即可判断.【解析】（1）因为，所以，由，欲使数列是等比数列，则只需，即.此时，故存在，使得数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）中可知，即，假设存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列，故，即，从而，由基本不等式可知，这与矛盾，故不存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列.29已知数列满足，.(1)若，求数列的通项公式；若，求的前项和.(2)若，
17、且对，有，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）将代入，利用“取倒数”构造等差数列，即可求解.先将数列的通项公式写出并展开，再利用分组求和即可得到答案.（2）将代入，先求出的通项公式，再利用基本不等式即可证明结论.（1）当时，因为，所以，可知，所以，即，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即.由得，所以，所以所以.（2）证明：当时，则，因为，所以又因为与不能同时成立，所以上式等号不成立，即对， .30设，若无穷数列满足以下性质，则称为数列：，（且）的最大值为k(1)若数列为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得为数列(2)若数列满足：，使得成等差数列，数列是否可能为
18、等比数列？并说明理由；记数列满足，数列满足，且，判断与的单调性，并求出时，n的值【答案】(1)(2)单调递减；单调递增；【分析】（1）由可得，再分与研究的最大值即可求解；（2）先假设数列能为等比数列，由（1）知，由条件求出有解即可；由“；”得，进而可推得与即可得数列的单调性，由此进而求的最值即可（1）因为数列为公比为q的等比数列，且为数列，所以，所以，所以，又，在的大前提下，当且仅当时，单增，无最大值；若，则，（当时取等）故有最大值，综上可知：q的取值范围是（2）若数列能为等比数列，由（1）知，又成等差数列，则，即，所以，即，解得或（舍）所以数列能为等比数列；由“；”得，首先，所以，即，所以单调递减；其次，所以，即，所以单调递增；最后，所以，所以时，.