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《五年经典推荐 全程方略》2015届高三数学专项精析精炼:2014年考点30 直接证明与间接证明.doc

1、温馨提示: 此题库为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭Word文档返回原板块。 考点30 直接证明与间接证明一、选择题1.(2014山东高考理科4)用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( )A、方程没有实根.B、方程至多有一个实根.C、方程至多有两个实根.D、方程恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根,它的反面为0根.【解析】选A.“已知为实数,则方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根.”故选A.2.(2014山东高考文科4)

2、与(2014山东高考理科4)相同用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( )A、方程没有实根.B、方程至多有一个实根.C、方程至多有两个实根.D、方程恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根,它的反面为0根.【解析】选A.“已知为实数,则方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根.”故选A.二、解答题3.(2013北京高考理科20)已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,的最小值记为Bn,dn=AnBn(1)若an为2,1,

3、4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,),写出d1,d2,d3,d4的值;(2)设d为非负整数,证明:dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列;(3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3),则an的项只能是1或2,且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据dn的定义求.(2)充分性:先证明an是不减数列,再利用定义求dn;必要性:先证明an是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】(1),。(2) 充分性:若为公差为的等差数列,则.因为是非负整数,所以是常数列或递增数列.,(n=1,2,3,).必要性:若,

4、假设是第一个使得的项,则,这与矛盾.所以是不减数列.,即,是公差为的等差数列.(3)首先中的项不能是0,否则,与已知矛盾.中的项不能超过2,用反证法证明如下:若中有超过2的项,设是第一个大于2的项,中一定存在项为1,否则与矛盾.当时,否则与矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之间,使得,此时,矛盾.综上中没有超过2的项.综合,中的项只能是1或2.下面证明1有无数个,用反证法证明如下:若为最后一个1,则,矛盾.因此1有无数个. 4.(2013北京高考文科20)给定数列a1,a2,an。对i=1,2,n-l,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,an的最小值记为Bi,di=Ai

5、-Bi.(1)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值.(2)设a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10.证明:d1,d2,dn-1是等比数列。(3)设d1,d2,dn-1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an-1是等差数列。【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出dn的通项,再利用等比数列的定义证明dn是等比数列.(3)先证明an是单调递增数列,再证明an是数列an的最小项,最后证明an是等差数列.【解析】(1),。(2)由是公比大于1的等比数列,且a10,可得的通项为且为单调递增数列。于是当时,为定值。因此d1,d

6、2,dn-1构成首项,公比的等比数列。(3)若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差数列,则0d1d2dn-1,先证明a1,a2,an-1是单调递增数列,否则,设ak是第一个使得akak-1成立的项,则Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2, an-1是单调递增数列.再证明an为数列an中的最小项,否则设ak0矛盾.因而k2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak0,矛盾.因此,an为数列an中的最小项.综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于是ak=dk+an,从而a1,a2,an-1是等差数列.关闭Word文档返回原板块

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