1、树德中学高 2021 级高三上学期 10 月阶段性测试数学(理科)试题命题人：宁夏校区高三数学备课组审题人：王钊唐颖君朱琨一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合 A=1,2,3，B=4,5，M=x x=a+b,a A,b B,则集合 M 的元素个数为()A.7B.6C.5D.42如果复数 m2-3m+m2-5m+6i 是纯虚数，则实数 m 的值为()A.0B.2C.0 或 3D.2 或 33已知直线 l1:x-3y+2=0,l2:3x-ay-1=0，若 l1 l2，则实数 a 的值为()A.1B.12C.-1
2、2D.-14已知平面，直线 a，b，c，下列说法正确的是()A.若 a ，b ，a b，则 B.若 a ，则 a C.若 a ，b ，则 a bD.若 =a，=b，a b，则 5向量 a，b，c 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，若 e 为与 c 同方向的单位向量，则 a+b e=()A.1.5B.2C.-4.5D.-36已知等比数列 an各项均为正数，3a2+2a3=a4，an的前 n 项和为 Sn，则 S3a2=()A.3B.133C.72D.137要得到函数 f x=sin 2x+3的图象，可以将函数 g x=sin 2x+12的图象()A.向左平移 4 个单位B.向左平移 8
3、 个单位C.向右平移 4 个单位D.向右平移 8 个单位8设函数 f x的定义域为 R，且 f 2x+2是奇函数，f x+1是偶函数，则一定有()A.f-1=0B.f 3=0C.f 4=0D.f 5=09阅读下段文字：“已知2 为无理数，若(2)2 为有理数，则存在无理数 a=b=2，使得 ab为有理数；若(2)2 为无理数，则取无理数 a=(2)2，b=2，此时 ab=(2)22=(2)2 2=(2)2=2 为有理数”依据这段文字可以证明的结论是()A.(2)2 是有理数B.(2)2 是无理数C.存在无理数 a，b，使得 ab为有理数D.对任意无理数 a，b，都有 ab为无理数10一个盒子中
4、装有 a 个黑球和 b 个白球(a，b 均为不小于 2 的正整数)，现从中先后无放回地取 2 个球.记“第一次取得黑球”为 A1，“第一次取得白球”为 A2，“第二次取得黑球”为 B1，“第二次取得白球”为 B2，则()A.P A1B2=aba+b2B.P A2B1=ba+b b-1a+b-1C.P B1 A1)+P(B2A1 111如图，双曲线 E：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线 l 与其右支交于 P，Q 两点，已知 PF1=2 PF2且 PF1F2=F1QP，则双曲线 E 的离心率为()A.3B.2C.3D.212已知函数 f x=(x-
5、3)3+2x-6，且 f 2a-b+f 6-b 0 a,b R，则()A.sina sinbB.ea ebC.1a 1bD.a2024 b2024二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)13设命题 p:2x-1x-1 0与曲线 y=2lnx 存在公切线，则实数 a 的取值范围为三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题满分 12 分，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，每题满分 10 分，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分.17已知等差数列 an满足 a2=3,S5=25.(1)求数列 an的通项
6、公式；(2)设 bn=1an+1+an,Tn为数列 bn的前 n 项和，求 Tn.高三数学(理科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页18如图，四边形 ABCD 与四边形 BDEF 均为菱形，DAB=DBF=60，FA=FC.(1)求证：AC 平面 BDEF；(2)求二面角 A-FC-B 的余弦值.19规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功(1)
7、某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过 12，有 1000 名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记 t 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下：t12345y23298604020求 y 关于 t 的回归方程 y=bt+a，并预测成功的总人数(精确到 1)；附：经验回归方程系数：b=ni=1xiyi-nx yni=1x2i-nx2，a=y-bx；参考数据：5i=1x2i=1.46，x=0.46，x2=0.212(其中 xi=1ti，x=15
8、5i=1xi)20已知抛物线 C1:y2=x，圆 C2:x-42+y2=1(1)求圆心 C2到抛物线 C1准线的距离；(2)已知点 P 是抛物线 C1上一点(异于原点)，过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A、B 两点，若直线 PC2的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，k1k2=-524，求点 P 的坐标21已知函数 f x=ex-kx2，k 0(1)若 k=2，求函数 f x的极值点的个数；(2)是否存在正实数 k,使函数 f x的极值为 2ek2，若存在，求出 k 的值，若不存在，说明理由(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，
9、则按所做的第一题计分.22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x=-1+22 ty=1+22 t(t 为参数)，圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线 l 及圆 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，求 cosAOB 的值.23已知函数 f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式 f(x)x+1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a,b 满足 a 0,b 0,a+b=c，求证：a2a+1+b2b+1 1.高三数学(理科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页
10、树德中学高 2021 级高三上学期 10 月阶段性测试数学(理科)试题参考答案题号123456789101112答案DADCDBBCCDBB13.0,12 14.9 15.1 16.-2e,0.17.(1)因为数列 an为等差数列，设公差为 d，则 S5=5(a1+a5)2=5a3=25，所以 a3=5，又 a2=3，所以 a1+2d=5a1+d=3，解得 a1=1，d=2.则 an=1+2 n-1=2n-1.6 分(2)由(1)知，bn=12n+1+2n-1.所以 bn=2n+1-2n-1(2n+1+2n-1)(2n+1-2n-1)=12(2n+1-2n-1)Tn=12(3-1+5-3+2n
11、+1-2n-1)=12(2n+1-1)12 分18.(1)证明：设 AC 交 BD 于点 O，连接 FO，四边形 ABCD 为菱形，AC BD，O 为 AC 中点，又 FA=FC，AC FO，又 FO BD=O，FO 平面 BDEF，BD 平面 BDEF，AC 平面 BDEF；4 分(2)解：如图，连接 DF，四边形 BDEF 为菱形，DBF=60，DBF 为等边三角形，又 O 为 BD 中点，FO BD，又 AC FO，AC BD=O，AC 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，FO 平面 ABCD，分别以 OA，OB，OF 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设 AB=2
12、，则 BD=2，AC=2 3，又 DBF 为等边三角形，OF=3，点 O 0,0,0，A3,0,0，B 0,1,0，C-3,0,0，F 0,0,3，CF=3,0,3，CB=3,1,0，设平面 BCF 的一个法量 n=x,y,z，则 CF n=3x+3z=0CB n=3x+y=0，令 x=1，得 n=1,-3,-1，FO 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 FO BD，又因为 AC BD，AC FO=O，所以 BD 平面 AFC，则 OB=0,1,0即为平面 AFC 的一个法向量，cos n,OB=n OBnOB=-155，又二面角 A-FC-B 的平面角是锐角，二面角 A-FC-B 的
13、余弦值为155.12 分19.(1)由题知，X 的取值可能为 1，2，3 所以 P X=1=1C122=14；P X=2=1-1C1221C132=112；P X=3=1-1C1221-1C132=23；所以 X 的分布列为：X123P1411223所以数学期望为 E X=1 14+2 112+3 23=3+2+2412=2912.6 分(2)令 xi=1ti，则 y=bx+a，由题知：5i=1xiyi=315，y=90，所以 b=5i=1xiyi-5x y5i=1x2i-5x2=315-5 0.46 901.46-5 0.212=1080.4=270，所以 a=90-270 0.46=-34
14、.2，y=270 x-34.2，故所求的回归方程为：y=270t-34.2，所以，估计 t=6 时，y 11；估计 t=7 时，y 4；估计 t 8 时，y 0；预测成功的总人数为 450+11+4=465.12 分20.(1)由已知：C2(4,0)；C1的准线为 x=-14 圆心 C2到 C1准线距离为 4-14=174;4 分(2)设 P y20,y0，A y21,y1，B y22,y2,切线 PA:x-y20=m1 y-y0由 x=m1y+y20-m1y0y2=x得：y2-m1y-y20+m1y0=0由 y0+y1=m1得：y1=m1-y0，切线 PB:x-y20=m2 y-y0,同理可
15、得：y2=m2-y0依题意：C2(4,0)到 PA:x-m1y-y20+m1y0=0 距离 4-y20+m1y0m21+1=1整理得：y20-1m21+8y0-2y30m1+y40-8y20+15=0同理：y20-1m22+8y0-2y30m2+y40-8y20+15=0 m1+m2=2y30-8y0y20-1y20 1 k1=y0y20-4，k2=y1-y2y21-y22=1y1+y2=1m1+m2-2y0=y20-1-6y0 k1k2=y0y20-4 y20-1-6y0=-524,解得：y0=4故所求 P 点坐标为 16,4或 16,-4.12 分高三数学(理科)2023-10 阶考 第
16、1 页共 2 页21.(1)当 k=2 时，f(x)=ex-2x2，f(x)=ex x2+ex-2 2x=x xex+2ex-4=x(x+2)ex-4，令 g(x)=(x+2)ex-4，则 g(x)=(x+3)ex，所以 g(x)=(x+2)ex-4 在(-,-3)单调递减，在(-3,+)单调递增又因为 x-2 时，g(x)0 恒成立，g(0)=-2 0，所以 g(x)=(x+2)ex-4 在(0,1)上有唯一的零点 x0所以当 x (-,0),f(x)0,f(x)单调递增，当 x 0,x0,f(x)0,f(x)单调递增，所以函数 f(x)有两个极值点 4 分(2)f(x)=exx2+ex-k
17、 2x=x(x+2)ex-2k，令 h(x)=(x+2)ex-2k(k 0)，则 x-2 时，h(x)-3 时，h(x)单调递增 h(0)=2-2k，当 k=1 时，f(x)0 在 R 上恒成立，f(x)无极值，不存在符合题意的 k 当 k 1 时，h(0)(k+2)e-2k 0，存在 x0(0,k)，使得 h x0=0，当 x (-,0),f(x)0,f(x)单调递增，当 x 0,x0,f(x)0,f(x)单调递增，所以 f(x)的极大值为 f(0)=0 2ek2,f(x)的极小值为 f x0 f(0)=0 2ek2，故不存在符合题意的 k当 0 k 0，存在 x0(-2,0)，使得 h x
18、0=0，当 x -,x0,f(x)0,f(x)单调递增，当 x x0,0,f(x)0,f(x)单调递增，所以 f(x)的极小值为 f(0)=0 0所以 H(x)在(-2,0)单调递增，又因为 H(-1)=0，所以 x0=-1，此时 k=x0+2ex02=12e，综上所述，k=12e 时，存在极值为 2ek2 12 分22.(1)由直线 l 的参数方程x=-1+22 ty=1+22 t，得其普通方程为 y=x+2，直线 l 的极坐标方程为 sin=cos+2.又 圆 C 的方程为 x-22+y-12=5，将 x=cosy=sin代入并化简得 =4cos+2sin，圆 C 的极坐标方程为 =4co
19、s+2sin.5 分(2)将直线 l：sin=cos+2，与圆 C：=4cos+2sin 联立，得4cos+2sinsin-cos=2，整理得 sincos=3cos2，=2，或 tan=3.不妨记点 A 对应的极角为 2，点 B 对应的极角为，且 tan=3.于是，cosAOB=cos 2-=sin=3 1010.10 分23.(1)f x x+1，即 x-1+x-3 x+1.当 x 1 时，不等式可化为 4-2x x+1，解得：x 1,又 x 3 时，不等式可化为 2x-4 x+1，解得：x 5,又 x 3，3 x 5.综上所得，1 x 3 或 3 1,n 1，a=m-1,b=n-1,m+n=4，a2a+1+b2b+1=m-12m+n-12n=m+n+1m+1n-4=4mn 4m+n22=1，等且仅当 m=n=2 即 a=b=1 时等号成立.原不等式得证.10 分高三数学(理科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页