1、3.1.1数系的扩充与复数的概念一、选择题1以3i的虚部为实部，以3i的实部为虚部的复数是()A33iB3iCi D.i答案A解析3i的虚部为3，3i的实部为3，故以3i的虚部为实部，以3i的实部为虚部的复数是33i.2下列说法正确的是()A如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等Bai是纯虚数(aR)C如果复数xyi(x，yR)是实数，则x0，y0D复数abi(a，bR)不是实数答案A解析两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A正确；B中当a0时，ai是实数0；C中若xyi是实数，则y0就可以了；D中当b0时，复数ab
2、i为实数3若复数(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值为()A1 B1C1 D2答案A解析依题意，得得x1.4已知a，bR，则ab是复数(ab)(ab)i为纯虚数的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析当ab0时，该复数为0，为实数，故A，B不正确；由于复数(ab)(ab)i为纯虚数，则故ab0，即ab0为该复数为纯虚数的充要条件，所以ab是该复数为纯虚数的必要而不充分条件5若x、yR，则“x0”是“xyi为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分也不必要条件答案B解析当x0，y0时，xyi是实数6复数43aa2i与复数
3、a24ai相等，则实数a的值为()A1 B1或4C4 D0或4答案C解析当a0或1时复数43aa2i与复数a24ai不相等，排A、B、D.7设C复数，A实数，B纯虚数，全集UC，那么下列结论正确的是()AABC BUABCA(UB) DB(UB)C答案D解析复数包括实数与虚数，而虚数包含纯虚数与非纯虚数8下列命题中的假命题是()A.不是分数B.i不是无理数Ci2是实数D若aR，则ai是虚数答案D解析当a0时，0i0为实数二、填空题9如果x1yi与i3x为相等复数，则实数x_，y_答案x，y1解析由复数相等可知10复数z3(i)i的虚部是_，实部是_答案2解析z3(i)i3ii23i12i故复数
4、z的虚部为，实部为2.11已知A1,2，(a23a1)(a25a6)i，B1，3，AB3，则实数a的值为_答案1解析可以AB3来寻找解题突破口，按题意a23a1(a25a6)i3解得a112已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为_和_答案或解析方程的实根必然适合方程，设xx0为方程的实根，代入整理后得abi0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值三、解答题13若不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立，求实数m的值解析由题意，得，当m3时，原不等式成立14(2010湛江高二检测)当实数m为何值时，复数z
5、(m22m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解析(1)当即m2时，复数z是实数；(2)当m22m0，且m0即m0且m2时，复数z是虚数；(3)当即m3时，复数z是纯虚数15已知：复数zlog2(x23x3)ilog2(x3)，其中xR.求证：复数z不可能是纯虚数证明假设复数z是纯虚数，则有由得x23x31，解得x1或x4.当x1时，log2(x3)无意义；当x4时，log2(x3)0，这与log2(x3)0矛盾，故假设不成立，所以复数z不可能是纯虚数点评本题是结论本身是否定形式的命题，故在证明时一般采用反证法16已知关于t的方程t22t2xy(txy)i0(x，yR)，求使该方程有实根的点(x，y)的轨迹方程解析设原方程的一个实根为tt0，则有(t2t02xy)(t0xy)i0.根据复数相等的充要条件有把代入中消去t0，得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22.故所求点的轨迹方程为(x1)2(y1)22.点评因为t0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x，y)的轨迹方程，故应用代入消元法将t0消去整理即可