1、课时作业梯级练四十六空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若 =x +y +z (x,y,zR),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当x=2,y=-3,z=2时,即 =2 -3 +2 .则 - =2 -3( - )+2( - ),即 =-3 +2 ,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设 =m +n (m,nR),即 - =m( - )+n(
2、- ),即 =(1-m-n) +m +n ,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.2.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果 =(2,-1,-4), =(4,2,0), =(-1,2,-1).下列结论错误的是()A.APABB.APADC. 是平面ABCD的一个法向量D. 【解析】选D.对于A, =2(-1)+(-1)2+(-4)(-1)=0,所以 ,即APAB,A正确,不符合题意;对于B, =(-1)4+22+(-1)0=0,所以 ,即APAD,B正确,不符合题意;对于C,由 ,且
3、 ,得出 是平面ABCD的一个法向量,C正确,不符合题意;对于D,由 是平面ABCD的法向量,得出 ,则D错误,符合题意.【加练备选拔高】结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其中白点 代表钠原子,黑点 代表氯原子.建立空间直角坐标系O-xyz后,图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是()A. , ,1 B.(0,0,1)C. 1, ,1 D. 1, , 【解析】选A.设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点,以O,B为相对顶点,作出长方体ABCD-EFGO,如图所示. 因为平面BFGC经过点B与x轴垂直,所以点B在x轴上的射影为G点,
4、结合G ,0,0 得B的横坐标为 ;同理可得,点B在y轴上的射影为E点,结合E 0, ,0 得B的纵坐标为 ;点B在z轴上的射影为D点,结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1.由此可得点B的坐标为 , ,1 .3.如图,在ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且 + =x +y ,则 + 的最小值为() A. B.2C. D. 【解析】选D.设 =m +n , = + ,其中m,n,为实数.因为B,D,E,C共线,所以m+n=1,+=1.因为 + =x +y =(m+) +(n+) ,则x+y=m+n+=2,易知x0,y0,所以 + = + (x+y)= 5+ + 5+2 = .当且仅当x=
5、,y= 时,等号成立.4.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为 ,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足 =2a+b, =3a-b,则OAB的面积为()A. B. C. D. 【解析】选B.| |= = = ,同理| |= ,则cosAOB= = = ,从而有sinAOB= ,所以OAB的面积S= = .5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点,点PAC1,QMD,则PQ长度的最小值为()A.1B. C. D.2【解析】选C.根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),
6、x00,1,x10,1,所以PQ= = ,当且仅当x0= ,x1= 时,PQ取得最小值,即PQmin= = . 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,则c=.【解析】因为ab,所以 = = ,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)7.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是.【解析】由题意
7、得, =(-3,-3,3), =(1,1,-1),所以 =-3 ,所以 与 共线,又AB与CD没有公共点,所以ABCD.答案:平行8.如图所示,已知二面角-l-的平面角为 0, ,ABBC,BCCD,AB在平面内,BC在l上,CD在平面内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为.【解析】 = + + ,所以 = + + +2 +2 +2 =1+1+1+2cos(-)=3-2cos ,所以| |= ,即AD的长为 .答案: 1.(5分)已知球O的半径为1,A,B是球面上的两点,且AB= ,若点P是球面上任意一点,则 的取值范围是()A. - , B. - , C. 0, D. 0, 【解析】选B.
8、由球O的半径为1,A,B是球面上的两点,且AB= ,可得AOB= , =11 - =- ,| + |=1, =( - )( - )= -( + ) + = -| + | |cos = -cos - , (其中指 + 与 的夹角).2.(5分)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,MN=.【解析】连接PD(图略),因为M,N分别为CD,PC的中点,所以MN= PD,又P(0,0,1),D(0,1,0),所以PD= = ,所以MN= .答案: 3.(5分)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量 =(1,2,3), =(
9、2,1,2), =(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当 取得最小值时, 的坐标是.【解析】因为点Q在直线OP上,所以设点Q(,2),则 =(1-,2-,3-2), =(2-,1-,2-2), =(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6 - 2- .即当= 时, 取得最小值- .此时 = , , .答案: , , 4.(10分)如图,已知斜三棱柱ABC- A1B1C1中BAC=90,BAA1=120,CAA1=60,AB=AC=1,AA1=2,点O是B1C与BC1的交点.(1)用向量 , , 表示向量 ;(2)求异面直线AO与BC所成角的余弦值;(3)
10、判定平面ABC与平面B1BCC1的位置关系.【解析】(1) = + = + ( + )= + ( - + )= ( + + ).(2)设 =a, =b, =c,则| |2= (a+b+c) 2= (a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)= (1+1+4+0+212cos 60+212cos 120)= ,所以| |= .又 =b-a,所以 = (a+b+c)(b-a)=1,| |= ,所以cos = = ,所以异面直线AO与BC所成角的余弦值为 .(3)如图,取BC的中点E,连接AE,则 = ( + )= (a+b).因为AB=AC,E为BC的中点,所以AEBC.又 = (a+b)c= (12cos 120+12cos 60)=0,所以AEBB1.因为BCBB1=B,所以AE平面B1BCC1.又AE平面ABC,所以平面ABC平面B1BCC1.
