1、准考证号姓名绝密启用前（在此卷上答题无效）萍乡市20202021学年度高三二模考试试卷理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答题无效3考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回
2、第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）已知全集，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D. （2）已知复数满足(为虚数单位)，则=A. B. C. D. （3）已知与满足，则与的夹角为A. B. C. D. （4）已知函数为偶函数，且当时，若，(其中为自然对数的底数，为圆周率)，则的大小关系为A. B. C. D. （5）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级111班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是A. 各班植树的
3、棵数不是逐班增加的B. 4班植树的棵数低于11个班的平均值C. 各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D. 1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳（6）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则A. 4 B. 8 C. 10 D. 16（7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为 A. B. C. 2 D. （8）某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位.现所有座舱全部为空座，有10人依次排好队准备乘搭，第一个人坐第1个舱，其他人在可选的情况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择情况共有A
4、. 89种 B. 90种 C. 637种 D. 638种 （9）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为 图1 图2A. B. C. D. （10）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，是侧面内的动
5、点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 A. B. C. 2 D. （11）已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. （12）若函数，则满足恒成立的实数a的取值范围为A. B. C. D. 萍乡市20202021学年度高三二模考试试卷理 科 数 学第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分（13）已知数列为等差数列，为其前项和，则 .（14）已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，使得，则点的坐标是 .（15）已知函数，若存在三个
6、互不相同的实数，满足，则的取值范围是 .（16）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为4，则的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分）已知函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为（1）求函数的单调递增区间；（2）已知的内角所对的边分别为，为的中点，且，求的值（18）（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值（19）（本小题满分12分）已知椭圆，为
7、其左、右顶点，点坐标为，为椭圆的半焦距，且有，椭圆的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，为椭圆上不重合两点，且的中点落在直线上，求面积的最大值（20）（本小题满分12分）某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如右频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入(单位：千元；同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富甲计划在店，
8、乙计划在店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由个商品构成，假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品总数量分别为，求的分布列及数学期望；若，求当的数学期望取最大值时正整数的值（21）（本小题满分12分）已知函数,函数满足. (1)讨论函数的单调性；(2)若有两个不同的零点,，证明：.请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，为曲线（为参数）上的动点，将点纵坐标不变
9、，横坐标变为原来的一半得点，记点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）是曲线上异于极点的两点，且，求的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知（1）关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：萍乡市20202021学年度高三二模考试试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（125=60分） CDCAC； BDABB； DA二、填空题（45=20分） 1321； 14； 15； 16. .三、解答题（共75分）17. （1）由题知，则2分故. 3分由，解得，5分所以的单调递增区间为，. 6分（2）. 8分作线
10、段的中点，因为，故因为， 即. 10分由正弦定理知 12分18. （1）取中点，连接，由题知，为的平分线，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上连接，则平面.平面平面，平面平面，平面，平面2分和平面所成的角为，即，又四边形为平行四边形，5分平面，平面，平面6分（2）以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则8分设平面的一个法向量为则，取，得，取平面的法向量为10分设平面与平面所夹角为，则11分 平面与平面所夹角余弦值为12分19. （1）依题意：，则1分，即，又，解得3分所以椭圆方程为：；4分（2）设，则，因为在椭圆上，有：6分设直线：，联立8分又，得所以，10分原点O到直线M
11、N的距离故当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为1. 12分20（1） 故估计这50位农民的年平均收人为17.4千元2分（2）由题知，可能取值为0，1，2，4分所以的分布列为：X012P 6分因为，所以令，设，则，且9分当时，所以在区间上单调递增当时，所以在区间上单调递减11分所以当，即时，故当取最大值时，的值为312分21. (1)由已知得函数的定义域为，则，1分当时,在上单调递增 2分当时,在上单调递减，在上单调递增3分(2)，其定义域为， 4分等价于，即 设()， 5分令，则；令，则，当时单调递增；当时单调递减函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点， 7分有两个不同的零点 ， 8分令 ，则 9分在时单调递增， 即时，又 11分，且 时单调递增 故而，得证.12分22. （1）曲线化为普通方程为： ，1分设P点坐标为，Q点坐标为，则有，3分消去有，即，此式即为的普通方程.曲线的极坐标方程为. 5分（2）设，（），6分 8分因为，所以的取值范围是.10分23. （1）由 2分所以原不等式等价于 ，得，或4分 5分（2）由（1）知 ，即6分 8分 10分