1、山东省2013届高三高考模拟卷（一）数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若，则A B C D4 2已知集合，集合，则A BC D3从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在09以上，则该班学生中能报A专业的人数为A10 B20 C8 D164下列说法正确的是A函数在其定义域上是减函数B两个三角形全等是这
2、两个三角形面积相等的必要条件C命题“，”的否定是“，”D给定命题，若是真命题，则是假命题5将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法中正确的是A函数是奇函数，最小值是B函数是偶函数，最小值是C函数是奇函数，最小值是D函数是偶函数，最小值是6已知点满足过点P的直线与圆相交于A，B两点，则AB的最小值为A2 B C D47一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是A B C D8执行如图所示的程序框图，若输入，则输出，的值分别为A5，1 B30，3 C153 D3069若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的，则
3、该双曲线的渐近线方程是A B C D10我们定义若函数为D上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D上的任何取值有意义；(2)对于区间D上的任意个值，总满足，那么下列四个图象中在上满足凹函数定义的是11若，则A B C D12已知为互不相等的三个正实数，函数可能满足如下性质：为奇函数；为奇函数；为偶函数；为偶函数；类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：(i)若满足，则的一个周期为；(ii)若满足；则的一个周期为；(iii)若满足，则的一个周期为；(iv)若满足；则的一个周期为其中正确结论的个数为( )A1 B2 C3 D4第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分
4、，共16分把答案填写在答题纸的相应位置13已知向量，且满足，则实数_14对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_15由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为_16如图放置的边长为2的正方形PABC沿轴滚动设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的区域的面积为_三、解答题：本大题共6个小题，共74分解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置17(本小题满分12分)在ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知，(1)求cosC的值；(2)若BC=10，D为AB的中点，求CD的长18(本小题满分12分)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，B
5、E/CF，BCCF，EF=2，BE=3，CF=4(1)求证：EF平面DCE；(2)当AB的长为何值时，二面角的平面角的大小为19(本小题满分12分)为迎接2013年“两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金元，正确回答问题B可获奖金元活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大
6、20(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，数列为等差数列，且，(1)求数列与的通项公式；(2)若，求的值21(本小题满分13分)已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切(1)求椭圆C的方程；(2)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与轴相交于定点Q；(3)在(2)的条件下，设过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围22(本小题满分13分)已知函数，的图象过点，且在点处的切线与直线垂直(1)求实数的值；(2)求在为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数，曲线上是否
7、存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？山东省2013届高三高考模拟卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A 【解析】由得2D【解析】由题意得集合或，故，又集合，所以3B【解析】该班学生视力在09以上的频率为，故该班50名学生中能报A专业的人数为4D 【解析】由减函数的定义易知在其定义域上不是减函数，A错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B错；命题“，”的否定是“，”，C错；由是真命题可知和都是真命题，故一定是假命题，D正确，选D5C【解析】由
8、题易得，将的图象向左平移个单位后，得的图象，易知为奇函数，最小值为，故选C6D 【解析】当P点同时满足(1)P为AB的中点；(2)P点到D点的距离最大时，AB取得最小值P点的可行域如图所示，因为直线和直线垂直，故P点的坐标是(1，3)时，OP最大易知此时AB=4，故选D7B【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，其直观图如图所示则该几何的侧面积8D【解析】执行程序框图可知，当时，；当时，；当时，即能被整除，退出循环，输出的值分别为30，69C【解析】由双曲线的对称性可取其一个焦点和一条渐近线，则该点到该渐近线的距离为，而，因此，所以，因此双曲线的渐近线方程为1
9、0A【解析】要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D，在A、B、C这三个选项中可以考虑特值法，取，则显然选项B、C不满足，故选A11B【解析】令得 ，令得 ，由联立，可得，从而12B【解析】由的图象知，两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为，对称中心与距其最近的对称轴的距离为，若满足，则的两个相邻对称中心分别为，从而有，即；若满足，则的对称轴为，与对称轴相邻的对称中心为，有，即；若满足，则的两个相邻的对称轴为和，从而有，即；若满足，则的对称中心为，与其相邻的对称轴为，从而有，即故只有(iii)(iv)错误二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填写
10、在答题纸的相应位置13【解析】由，得，因为，所以，即，解得14【解析】当时，；当时，原不等式变形可得，因为(当且仅当时，等号成立)，所以，即的最大值是，所以15【解析】由，解得直线和曲线的交点坐标是(1，1)，结合图形可知，由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为164【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P点移到原点，开始运动，如图所示，当P点第一次回到轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与轴围成的区域面积为三、解答题：本大题共6个小题，共74分解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置17【解析】(1)因为，且，则(2
11、)由(1)可得由正弦定理得，即，解得AB=14因为在BCD中，所以18【解析】(1)由题易知在BCE中，BE=3，所以，又在FCE中，所以 EFCE，因为平面ABCD平面EFCB，DCBC，所以DC平面EFCB，又EF平面EFCB，所以DCEE，又DCEC=C，所以EF平面DCE(2) 法一过点B作BHEF交FE的延长线于点H，连接AH由平面ABCD平面BEFC，又平面ABCD平面BEFC=BC，ABBC，所以AB平面BEFC，从而ABEF，又因为BHEF，BHAB=B，所以EF平面ABH又AH平面ABH，所以EFAH，所以AHB为二面角的平面角在RtCEF中，因为EF=2，CF=4，所以CF
12、E=，因为BECF，所以BEH=CFE=又在RtBHE中，BE=3，所以，由二面角的平面角的大小为，得AHB=，在RtABH中，解得所以当时，二面角的平面角的大小为 (2)法二 由题知，平面ABCD平面BEFC，又平面ABCD平面BEFC=BC，DCBC，则DC平面BEFC又CFBC，则BC，CD，CF两两垂直，以点C为坐标原点，CB，CF和CD所在直线分别作为轴，轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，从而，设平面AEF的法向量为，由，0得，取，则，即平面AEF的二个法向量为不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得，解得所以当时，二面角的平面角的大小为19【解析】该参与者随机猜对问题A的
13、概率，随机猜对问题B的概率回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的可能取值为，则，数学期望先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的可能取值为，则，数学期望于是，当时，即先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的期望值较大；当时，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值相等；当时，即先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值较大20【解析】(1)由题意得，当时，又，所以设等差数列的公差为由，可得，解得所以，所以(2)由(1)得，当时，当时，所以当时，；当时，记， ，得，故，则因为，所以21【解析
14、】(1)由题意知，所以，即又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆，与直线相切，所以，所以，故椭圆C的方程为(2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0，则直线PB的方程为由得 设点，则由题意知直线AE的斜率存在，则直线AE的方程为令，得，将，4)代入整理得 由式利用根与系数的关系得，代入式整理得所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0)(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，由得，易知，由根与系数的关系知，则，则，因为，所以，所以，所以当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，不妨设，此时综上所述，的取值范围是22【解析】(1)当时，由题意，得即解得(2)由
15、(1)，知当时，由，得；由，得或所以在和上单调递减，在上单调递增因为，所以在上的最大值为2当时，当时，；当时，在上单调递增所以在上的最大值为所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2(3)假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在轴两侧，因为POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以，不妨设，则由POQ斜边的中点在轴上知，且 所以（*）是否存在两点P，Q满足题意等价于方程(*)是否有解若，则，代入方程(*)，得，即，而此方程无实数解；当时，则，代入方程(*)，得，即，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，从而，即的值域为因为，所以的值域为，所以当时，方程有解，即方程(*)有解所以对任意给定的正实数，曲线上总存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上