1、贵州省2020届高三数学下学期“阳光校园空中黔课”阶段性检测试题 理（含解析）一、选择题1.设，则在复平面内复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求得，由此求得复数对应的点所在象限.【详解】由于，所以，对应点为，在第二象限.故选：B【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数对应点坐标所在象限的判断，属于基础题.2.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过西游记的学生有70位，只阅读过红楼梦的学生有20位，则既没阅读过西游记
2、也没阅读过红楼梦的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】A【解析】【分析】根据已知求得既没阅读过西游记也没阅读过红楼梦的学生人数，由此求得既没阅读过西游记也没阅读过红楼梦的学生人数与该校学生总数比值的估计值.【详解】由于阅读过西游记的学生有70位，所以没有阅读过西游记的学生有位，这位学生中，有位只阅读过红楼梦，故既没阅读过西游记也没阅读过红楼梦的学生人数为位，所以既没阅读过西游记也没阅读过红楼梦的学生人数与该校学生总数比值的估计值为.故选：A【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，属于基础题.3.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（
3、）A. 18B. 27C. 36D. 45【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.【详解】在等差数列中，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.4.已知函数，若，则实数的值等于（ ）A. 6B. 3C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】对分成和两种情况，由分段函数解析式和求得的值.【详解】当时，不符合，舍去.当时，.故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.5.直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ）A. 3B. C. 1D
4、. 2【答案】C【解析】分析】先计算出直三棱柱的体积，然后计算出除三棱锥外的三个三棱锥的体积，由此求得三棱锥的体积.【详解】依题意直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，故体积为.，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查主要考查锥体、柱体体积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.6.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得
5、到曲线；D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；【答案】D【解析】【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.【详解】对于曲线，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到，即得到曲线.故选：D点睛】本小题主要考查诱导公式、三角函数图像变换，属于基础题.7.设椭圆的两个焦点分别为，若上存在点满足，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】结合椭圆的定义和离心率的求法，求得椭圆的离心率.【详解】根据椭圆的定义以及离心率公式得.故选：A【点
6、睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率的求法，属于基础题.8.设函数，则下列结论错误的是（ ）A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在单调递减【答案】C【解析】【分析】结合的周期、对称轴、和单调区间，以及的零点，判断出结论错误的选项.【详解】的周期是，所以的一个周期为，A选项正确.由得（），当时，是的对称轴，B选项正确.，当时，所以C选项错误.由得，（），当时，的一个减区间为，所以在上递减，D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数周期、对称轴、零点和单调区间，属于中档题.9.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
7、C【解析】【分析】将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值.【详解】由于各项均为正数的等比数列的前4项和为，且，所以，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.10.抛物线的焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得点坐标，由此求得三角形的面积.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线方程为，由于，结合图像易得，所以三角形的面积为.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、填空题11.已知长方形中，为的
8、中点，则_.【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算，结合向量数量积的运算，求得的值.【详解】.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量加法、减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.设为第二象限角，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据求得的值，结合，求得的值，进而求得的值.【详解】由得，解得，由为第二象限角，及解得，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于基础题.13.如图所示，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走146.4米到达，在测得山顶的仰角为，则山高_米（，结果保留小数
9、点后1位）【答案】【解析】【分析】在三角形中利用正弦定理求得，由此求得.【详解】依题意，.三角形中，由正弦定理得，即所以（米）故答案为：【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查解三角形在实际生活中的应用，属于基础题.14.已知三个互不重合的平面，且直线，不重合，由下列条件：，；，；，；能推得的条件是_【答案】【解析】【分析】根据线面平行的判断方法，对三个条件逐一分析，由此确定正确结果.【详解】对于，可能，所以不成立；对于，根据面面平行的性质可知，条件能推出.对于，可能，所以不成立.所以能推得的条件是.故答案为：【点睛】本小题主要考查线面平行的判断，属于基础题.15.已知数列的各项均为正
10、数，其前项和为，且满足，则_【答案】【解析】【分析】首先根据递推关系求得的表达式，由此求得的表达式，从而求得的值.【详解】由，令得.当时，由得，整理得，所以，累加得，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.三、解答题16.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点.（1）求的值；（2）若角满足，求的值【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得的值，利用诱导公式求得的值.（2）先求得的值，由此求得的值.【详解】（1）根据三角函数的定义可知，所以.（2）由于，所以.当时，.当时，.【点睛】本
11、小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17.记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，所以.（2）令.所以.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查裂项求和法，属于基础题.18.的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且的面积
12、为，求边的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角形内角和定理和二倍角公式化简，求得的值，进而求得的值.（2）利用三角形的面积公式求得，结合余弦定理，以及三角形是锐角三角形列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】（1）依题意，由正弦定理和三角形内角和定理得，即，因此，所以.（2）由于，所以.由余弦定理得，即.由于三角形是锐角三角形，所以，将代入得，化简得，又因为，将的代入不等式组得，解得.【点睛】本小题主要考查正弦定理、三角形内角和定理和二倍角公式，考查余弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐
13、标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【答案】（1），（2），【解析】分析】（1）将参数方程中的参数消去，求得的普通方程；利用两角差的正弦公式、极坐标化为直角坐标的公式将的极坐标方程转化为直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式以及正弦函数最值的求法，求得的最小值及此时的直角坐标.【详解】（1）由得，两边平方并相加得.由得，即.（2）设，则，当时，的最小值为，也即的最小值为，此时，所以，所以.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考
14、查点到直线的距离公式，考查曲线参数的运用，属于中档题.20.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，对于任意，都有.【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得的定义域和导函数，对分成三种情况，讨论的单调性.（2）将不等式转化为，对分成三种情况，通过构造函数法，结合导数，证得不等式成立.【详解】（1）的定义域为，.当时，在上递减.当时，时，递减，时，递增.当时，时，递减，时，递增.综上所述，当时，在上递减.当时，在上递增，在上递减.当时，在上递增，在上递减.（2）要证，即证，当时，不等式显然成立.当时，即证；当时，即证.令，则，当时，在上，递减，在上，递增，所以，所以.当时，上，递增，在上，递减，所以，所以.综上所述，当时，对于任意，都有.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
