1、3.2第3课时 向量法在空间垂直关系中的应用一、选择题1若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(1，2)，则m为()A4B6C8D8答案C解析l，l与平面的法向量垂直故21m120，解得m8，故选C.2若n(1，2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是()A(1，2,0) B(0，2,2)C(2，4,4) D(2,4,4)答案C解析(2，4,4)2(1，2,2)2n，(2，4,4)可作为的一个法向量3(2010雅安高二检测)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A.B1C.D.答案A解析kab(k1，k,2),2ab(
2、3,2，2)若kab与2ab垂直，则(kab)(2ab)0.即3(k1)2k40.解得k，故选A.4已知A(3,0，1)、B(0，2，6)、C(2,4，2)，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析(3，2，5)，(1,4，1)，则3(1)2450.，故ABC为直角三角形又|故选C.二、填空题5在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx1,2cos2x2,0)和点Q(cosx，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_答案或解析cosx(2cosx1)2cos2x2302cos2xcosx2(2cos2x1)22cosx2cosx.2c
3、os2xcosx0，即cosx0或cosx，又x0，x或.6已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_答案解析2(1)(1)2(4)(1)2240，则.4(1)2200，则，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量三、解答题7已知A、B、C、D是空间四个不同的点，求证：ACBD的充要条件是AD2BC2CD2AB2.证明设a，b，c，则ACBDb(ca)0abbc，AD2BC2CD2AB2|2|2|2|2|c|2(ba)2|cb|2|a|2abbc，ACBDAD2BC2
4、CD2AB2.8如图，ABC中，ACBC，D为AB边中点，PO平面ABC，垂足O在CD上，求证：ABPC.证明设a，b，v.由条件知，v是平面ABC的法向量，va0，vb0，D为AB中点，(ab)，O在CD上，存在实数，使(ab)，CACB，|a|b|，(ba)(ab)(ba)(ba)v(|a|2|b|2)bvav0，ABPC.9已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA底面ABCD，如果BCPB，求证ABCD是矩形证明由条件知，BCPB，0，即()0，0，0，0，ADAB，四边形ABCD为平行四边形，ABCD为矩形10如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中
5、点，ACBCBB1.(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D.解析如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)(0，2，2)，(2,2，2)，0440，BC1AB1.(2)取A1C的中点E，E(1,0,1)，(0,1,1)，又(0，2，2)，且ED和BC1不共线，则EDBC1.又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.点评第(2)问可求出(1,1,0)
6、，(2,0，2)，(0，2，2)，2，与、共面，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D.11在棱长ABAD2，AA13的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点试确定点E的位置，使D1E平面AB1F.解析建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)(2，y2，z3)，(1,2,0)，(2,0,3)，D1E平面AB1F，即，解得E(2,1，)即为所求12如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离解析(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)(2,2,0)，(0,2,4)，(2，2,1)，(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)解：由(1)知，为平面ACF的一个法向量，向量在上的射影长，即为点E到平面ACF的距离，设为d.于是d|cos，|.故点E到平面ACF的距离为.