1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则（ ）A B C D【答案】A考点：集合的运算2.复数，则等于（ ）A3 B C D4【答案】B【解析】试题分析：由题意得，所以，故选B考点：复数的运算3.设中变量满足条件，则的最小值为（ ）A2 B4 C8 D16【答案】C【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图所示，由，得，令，则，由可行域可知当直线经过点时截距最小，即最小，解方程组，得，所以的最小值为，的最小值为考点：简单的线性规划4.已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为（ ）A
2、B C D【答案】D考点：数列的通项公式及定积分的计算5.过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设直线的斜率为，则直线方程为，即，当面积取最大值时，,此时圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，故选C考点：直线与圆的位置关系的应用6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）A24种 B28种 C32种 D16种【答案】D考点：排列组合的应用7.下列四个结论：命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；命题“”的否定是“”；在
3、中，“”是“”的充要条件；当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确命题的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】试题分析：由题意得命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是是周期函数，则不是三角函数”，所以是错误的；中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，是正确的；在中，由正弦定理得“”则，所以是正确的；当时，根据幂函数的性质，幂函数在区间上单调递减，是正确的，故选C考点：命题的真假判定8.阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出等于（ ）A B C D【答案】C考点：程序框图的应用9.已知函数满足对恒成立，则函数（ ）A一定为奇函数 B一定为偶
4、函数C 一定为奇函数 D一定为偶函数【答案】D【解析】试题分析：由题意得，时，则，所以，此时函数为偶函数，故选D考点：三角函数的图象与性质10.已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B考点：函数的零点的应用【方法点晴】本题主要考查了函数的零点即根的存在性及根的个数的判断，着重考查了数形结合法思想的应用及转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中将函数只有一个零点，转化为函数与函数图象的交点个数，通过作出函数与函数图象，即可借助图象得到图象交点个数的判断11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（
5、）A17 B C D18【答案】C【解析】试题分析：由已知中的三视图，可知给几何体是一个四棱台切去一个三棱锥的几何体，棱台的上下底面的边长和，故棱台的上下底面的面积分别为和，斜高为，所以棱台的高为，所以棱台的体积为，棱锥的底面是棱台上底面的一半，所以底面积为，高为，所以棱锥的体积为，所以组合体的体积为，故选C考点：几何体的三视图及组合体的体积的计算【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，由已知中的三视图，可知给几何体是一个四
6、棱台切去一个三棱锥的几何体是解答问题的关键 12.如图，已知点为的边上一点，为边的一列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（ ）A B C D【答案】D考点：等比数列的通项公式及向量的运算【方法点晴】本题主要考查了等比数列的递推公式、等比数列的通项公式及平面向量的运算，着重考查了平面向量的三点共线，等比数列的定义及等比数列的通项公式的求解，同时考查了学生分析问题、解答问题的能力及推理运算能力，本题的解答中，根据平面向量的运算，得到数列表示首项为，公比为的等比数列是解得本题的关键第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.函数在区间上的最大值是 .【答案】【
7、解析】试题分析：由题意得，令，因为，所以，当时，；当时，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，此时最大值为考点：利用导数研究函数的最值14.设常数，的二项展开式中项的系数为40，记等差数列的前项和为，已知，则 .【答案】考点：二项式定理的通项及等差数列的通项的应用15.已知，抛物线的焦点为，直线经过点且与抛物线交于两点，且，则线段的中点到直线的距离为 .【答案】【解析】试题分析：因为，抛物线的焦点为，所以，所以，因为直线经过点且与抛物线交于两点，且，所以，所以，所以线段的中点到直线的距离为考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的集合性质
8、的应用，着重考查了转化与化归的思想方法的应用、推理与计算能力，属于基础题，本题的解答中，利用，得到抛物线的饿焦点坐标，得出，由直线过过抛物线的焦点，利用抛物线的定义转化为，求解的值，即可运算的中点到直线的距离16.已知函数，存在，则的最大值为 .【答案】考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定的范围，构造新函数，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结论的最大值三、解答题（本大题共6小题，共70
9、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）在中，边分别是内角所对的边，且满足，设的最大值为.（1）求的值；（2）当，为的中点时，求的长.【答案】（1）；（2）（2），得，12分考点：正弦定理与余弦定理的应用18.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内的频率之比为.（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）若将频率视为频率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）（2）从该企业生产的该
10、种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以服从二项分布，其中由（1）得，区间内的频率为，将频率视为概率得因为的所有可能取值为0，1，2，3，且，所以的分布列为：01230.0640.2880.4320.216所以的数学期望为（或直接根据二项分布的均值公式得到）12分考点：频率直方图、离散型随机变量的分布列及数学期望19.（12分）已知直角梯形所在的平面垂直于平面，.（1）若是的中点，求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）试题解析：（1）设ABa，取AC的中点O，连接EO，OP.AEAC，又EAC60，EOAC.又平面ABC平面ACD
11、E，EO平面ABC，EOOP，又OPAB，ABAC，所以OPAC.以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则C（0，0），A（0，0），E（0，0，），D（0，），B（a，0）.则P（，0，0），设平面EAB的法向量为（x0，y0，z0）. （a，0，0），（0，），0，0，即，令z01，得y0，又x00，（0，1）.，DP平面EAB （另法：取AB中点F，然后证DPEF或证平面ODP平面EAB） 6分考点：线面位置关系的判定与证明；二面角的求解20.（12分）已知点，是圆上任意一点，在轴上的射影为，动点的轨迹为，直线与轨迹交于两点，直线分别与轴交于点.（
12、1）求轨迹的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）；（2），试题解析：（1）设 , , P在 上， 所以轨迹的方程为 6分（2）因为点的坐标为因为直线与轨迹C于两点，设点（不妨设），则点联立方程组消去得所以，则 所以直线的方程为因为直线，分别与轴交于点，令得，即点 同理可得点8分所以 考点：轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系的应用【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解方法、直线与圆锥曲线位置关系的应用，着重考查直线方程与圆锥曲线方程联立，利用根与一元二次方程的系数的关系的转化与化归，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于
13、中档试题，本题的解答中利用直线与椭圆方程联立，求解出的坐标，利用两点间的距离公式计算出的长及的中点坐标，写出以为直径的圆的方程是解答的关键21.（12分）已知函数.（1）时，求的单调区间和极值；（2）时，求的单调区间；（3）当时，若存在，使不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是；极小值是，无极大值；（2）单调递减区间是， ，单调递增区间是；（3）【解析】试题分析：（1）由，求得，利用和，即可求解函数的单调区间和极值；（2）求解，分三类讨论，即可求解函数的单调区间；（3）先求解函数和，把不等式成立，转化为恒成立，可得，利用，即可求解 取值范围当 时， 在上单调递
14、减；当 时， ，令解得：，或令解得：，所以当 时， 的单调递减区间是， ，单调递增区间是；7分(3)由（2）知，当 时， 在上单调递减所以 ，考点：利用导数研究函数单调性、极值与最值中应用【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用函数的性质求解不等式的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论思想和转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的第三问的解答中先求解函数和，把存在不等式成立，转化为恒成立是解答本问的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知在中，以为直径
15、的圆交于，过点作圆的切线交于，求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】考点：圆周角定理；直角三角形的射影定理23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）设与相交于两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它的直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将直线中的与代入到直线，即可得到焦点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线任意点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，分子
16、合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母的分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离的最小值试题解析：（1）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,则. 5分考点：圆的参数方程；函数的图象与图象的变化；直线与圆相交的性质24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）当时，利用绝对值的意义求得不等式的解集；（2）由题意可得大于的最大值，再根据绝对值的意义可得的最大值为，可得实数的范围试题解析：（1）解：当时，等价于当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得综上所述，不等式的解集为5分思路2：因为 ，当且仅当时取等号所以因为对任意，不等式的解集为空集，所以以下给出三种思路求的最大值.思路1：令，所以当且仅当，即时等号成立所以所以的取值范围为10分思路2：令，此时所以的取值范围为10分考点：绝对值不等式的解法