1、第六章概率4 二项分布与超几何分布4.1 二项分布 课后篇巩固提升合格考达标练1.甲、乙两人各进行 1 次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.7,则其中恰有 1 人击中目标的概率是()A.0.49B.0.42C.0.7D.0.91答案 B解析两人中恰有一人击中目标的概率为C21 0.70.3=0.42.2.设随机变量 服从二项分布 B 6,12,则 P(3)等于()A.1132B.732C.2132D.764答案 C解析 P(3)=P(=0)+P(=1)+P(=2)+P(=3)=C60 126+C61 126+C62 126+C63 126=2132.故选C.3.设二项分布 XB(n,p)的
2、随机变量 X 的均值与方差分别是 2.4 和 1.44,则二项分布的参数 n,p 的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1答案 B解析由题意得,np=2.4,np(1-p)=1.44,1-p=0.6,p=0.4,n=6.4.设随机变量 的分布列为 P(=k)=C23k13n-k,k=0,1,2,n,且 E=24,则 D 的值为()A.8B.12C.29D.16答案 A解析由题意可知 B n,23,23n=E=24.D=n 23 1-23=24 13=8.5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,且
3、每赢一局得1 分,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以 31 的比分获胜的概率为()A.827B.6481C.49D.89答案 A解析当甲以 31 的比分获胜时,说明甲乙两人在前三局比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以 31 的比分获胜的概率为 P=C32232 1-23 23=3 49 13 23=827,故选 A.6.下列说法正确的是 .某同学投篮的命中率为 0.6,他 10 次投篮中命中的次数 X 是一个随机变量,且 XB(10,0.6);某种彩票的中奖概率为 p,某人一次买了 8 张,中奖张数 X 是一个随机变量,且 XB(8,p);从装有 5 个红球、5 个白球
4、的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数 X 是随机变量,且XB n,12.答案解析显然满足 n 重伯努利试验的条件,而虽然是有放回地摸球,但随机变量 X 的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,是否进行下一次实验与上次实验结果有关,不符合二项分布的定义.7.设 XB(2,p),若 P(X1)=59,则 p=.答案13解析XB(2,p),P(X=k)=C2pk(1-p)2-k,k=0,1,2.P(X1)=1-P(X1)=1-P(X=0)=1-C20p0(1-p)2=1-(1-p)2,1-(1-p)2=59.结合 0p1,解得 p=13.8.有 n 位同
5、学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是 p(0p1,Pn(k)Pn(k-1).当 k4 时,1521-1 1,Pn(k)0.9,即12n0.1,所以 n4,故选 B.15.(多选题)某城镇小汽车的家庭普及率为 75%,即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出 5 个家庭,则下列结论成立的是()A.这 5 个家庭均有小汽车的概率为 2431024B.这 5 个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C.这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车D.这 5 个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 81128答案 ACD解析由题得
6、小汽车的普及率为34.A.这 5 个家庭均有小汽车的概率为345=2431024,故 A 成立;B.这 5 个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C53343142=135512,故 B 不成立;C.这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车,故 C 成立;D.这 5 个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为C5434414+345=81128,故 D 成立.16.设随机变量 B(2,p),B(3,p),若 P(1)=34,则 P(1)=.答案78解析 P(1)=1-P(=0)=1-(1-p)2=34,又 0p1,所以 p=12,所以 P(1)=1-P(=0)=1-(1-
7、p)3=78.17.一次数学测验由 25 道选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得 4 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分,某学生选对任一题的概率为 0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为 、.答案 60 96解析设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为 X,所得的分数(成绩)为 Y,则 Y=4X.由题知 XB(25,0.6),所以 EX=250.6=15,DX=250.60.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42DX=166=96,所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是 60 与
8、96.18.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的占 60%,参加过计算机培训的占 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(2)任选 3 名下岗人员,记 为 3 人中参加过培训的人数,求 的分布列.解(1)任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A,“该人参加过计算机培训”为事件 B,则事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加
9、过培训的概率是P()=P()P()=(1-0.6)(1-0.75)=0.1.所以该人参加过培训的概率为 1-0.1=0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 服从二项分布B(3,0.9),P(=k)=C30.9k0.13-k,k=0,1,2,3,所以 的分布列是 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 新情境创新练19.甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的概率相等.(1)求乙以 4 比 1 获胜的概率;(2)求甲获胜且比赛局数多于 5 局的概率
10、.解(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12,记“乙以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 A表示前 4 局乙赢了 3 局甲赢了 1 局,且第五局乙赢,所以 P(A)=C43123 12 12=18.(2)记“甲获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B,则 B 表示甲以 4 比 2 获胜,或甲以 4 比 3 获胜.因为甲以 4 比 2 获胜,表示前 5 局比赛中甲赢了 3 局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第 7 局比赛,故甲以 4 比 2 获胜的概率为C53123122 12=532.甲以 4 比 3 获胜,表示前 6 局比赛中甲赢了 3 局且第七局比赛中甲赢了,故甲以 4 比 3 获胜的概率为C63123123 12=532,所以 P(B)=532+532=516.