1、4.4*数学归纳法课后训练巩固提升A组1.用数学归纳法证明1+2-(n2)(nN*)时,第一步需要证明()A.12-B.1+2-C.1+2-D.1+2-解析:第一步需验证第一个n值,应为n=2,此时不等式为1+2-.答案:C2.已知f(n)=2+4+6+2n,则f(n+1)比f(n)多了()A.1项B.n项C.(n+1)项D.2n-1项解析:由题意,f(n)=2+4+6+2n(nN*),f(n+1)=2+4+6+2n+(2n+2)+2n+1,则f(n+1)-f(n)=(2n+2)+(2n+4)+2n+1,f(n+1)比f(n)多了2n-1项.答案:D3.已知一个命题p(k),k=2n(nN*)
2、,若当n=1,2,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时,p(k)也成立,则下列判断中正确的是()A.p(k)对k=2 004成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立解析:由题意,知p(k)对k=2,4,6,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.故选D.答案:D4.用数学归纳法证明+(n2)的过程中,设f(k)=+,从n=k到n=k+1推理时,不等式的左边为()A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)+D.f(k)+解析:当n=k时,左边=+,当n=k+1时,左边=+,故第二步由k到k+1时不等式左边的
3、变化是增加了f(k)+.答案:C5.若存在常数a,b,使等式122+232+n(n+1)2=(an+b)对nN*都成立,则a,b的值分别为、.解析:因为存在常数a,b,使等式对所有的正整数都成立,所以当n=1,2时等式都成立,所以得a+b=8,2a+b=11,解得a=3,b=5.答案:356.用数学归纳法证明1+1),第一步要证明的不等式是.解析:当n=2时,左边为1+=1+,右边为2.故应填1+2.答案:1+,1+1,1+,1+2,猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明.解:猜想:1+.证明:(1)当n=1时,不等式成立;(2)假设当n=k时,不等式成立,即1+,则当n=k+1时,左边=1
4、+,其中+共有2k项,+,所以1+,即当n=k+1时,不等式成立,由(1)(2)可知,对任意nN*,不等式成立.B组1.某个命题与正整数n有关,如果当n=k+1(kN*)时命题成立,那么可推得当n=k时命题也成立.现已知当n=2 019时该命题不成立,那么可推得()A.当n=2 020时该命题不成立B.当n=2 020时该命题成立C.当n=2 018时该命题不成立D.当n=2 018时该命题成立答案:A2.用数学归纳法证明+1,从n=k到n=k+1推理时,左边应增加的项是()A.+B.C.+D.解析:用数学归纳法证明+1时,假设当n=k时不等式成立,左边=+,则当n=k+1时,左边=+,故由n
5、=k递推到n=k+1时不等式的左边增加了+.答案:A3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+2解析:当n=k+1时,任取其中1条直线记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k).因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而当n=
6、k+1时交点的个数是f(k+1)=f(k)+k.答案:C4.利用数学归纳法证明“1+1)”的过程中,由假设“当n=k时不等式成立”,推导“当n=k+1时不等式也成立”时,左边应增加的项数是()A.kB.k+1C.2kD.2k+1解析:当n=k(k1,kN*)时不等式成立,即有1+k,当n=k+1时,即证1+k+1,由此可得不等式左边增加了+,共2k+1-1-2k+1=2k项.答案:C5.用数学归纳法证明等式:1+2+3+n3=(nN*),则从n=k到n=k+1推理时左边应添加的项为 .解析:用数学归纳法证明等式1+2+3+n3=(nN*),当n=1时,左边的项是1;假设当n=k时等式成立,左边
7、为1+2+3+k3,则当n=k+1时,左边为1+2+3+k3+(k3+1)+(k+1)3,故由n=k到n=k+1时需增添的项是(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3.答案:(k3+1)+(k3+2)+(k+1)36.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-,且Sn+2=an(n2),则S3=;Sn=.解析:由于a1=-,满足Sn+2=an(n2),令n=2,则S2+2=a2,化为a1+2=0,故-+2=0,解得S2=-.令n=3,S3+2=a3,化为S2+2=0,即-+2=0.解得S3=-.猜想:Sn=-.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,S1=-,结论成立;(2)假设当n=k时结论成立
8、,即Sk=-,当n=k+1时,Sk+1+2=ak+1=Sk+1-Sk,Sk+1=-=-=-.即当n=k+1时,结论也成立.由(1)(2)可得,对任意的正整数n,结论都成立.答案:-7.已知函数f(n)=-1+3-5+(-1)n(2n-1)(nN*).(1)求f(n+1)-f(n);(2)用数学归纳法证明f(n)=(-1)nn.(1)解:f(n)=-1+3-5+(-1)n(2n-1)(nN*),f(n+1)-f(n)=(-1)n+1(2n+1).(2)证明:当n=1时,f(1)=-1,成立.假设当n=kN*时成立,即f(k)=(-1)kk,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(-1)k+1
9、(2k+1)=(-1)kk+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(2k+1-k)=(-1)k+1(k+1).故当n=k+1时等式也成立.综上可得,对于任意nN*,f(n)=(-1)nn.8.已知数列an的前n项和为Sn,满足an1,且4Sn=(an+1)2,nN*.(1)求a1,a2,a3的值;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法予以证明.解:(1)an1,且4Sn=(an+1)2,当n=1时,(a1-1)2=1,a1=1,当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,a2=3或a2=-1(舍),当n=3时,4(4+a3)=(a3+1)2,a3=5或a3=-3(舍),a1=1,a2=3,a3=5.(2)由(1)猜想an=2n-1,下面用数学归纳法证明:当n=1时,a1=1,显然成立,假设当n=k时,结论成立,即ak=2k-1,则当n=k+1时,由4Sk=(ak+1)2,有4ak+1=4(Sk+1-Sk)=(ak+1+1)2-(ak+1)2,-2ak+1-4k2+1=(ak+1-2k-1)(ak+1+2k-1)=0,ak+1=2k+1或ak+1=-2k+1(舍),n=k+1时结论成立.由知,当nN*时,an=2n-1均成立.