1、第2课时等比数列前n项和的应用课后训练巩固提升1.已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+a,则数列的前n项和为()A.B.C.D.9n-1解析:因为等比数列an的前n项和为Sn=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)-(3+a)=6,a3=(27+a)-(9+a)=18,所以=a1a3,得a=-1,所以a1=2,q=3,所以数列的首项为4,公比为9.所以数列的前n项和Tn=.答案:A2.已知an为等比数列,Sn为其前n项和,若S6=-7S3,a2+a4=10,则a1等于()A.3B.-1C.2D.-2解析:an为等比数列,S6=-7S3,a2+a4=10,1+q3=-7,q=-2,a1
2、=-1.答案:B3.(多选题)已知数列an是等比数列,则下列结论中正确的是()A.数列是等比数列B.若a3=2,a7=32,则a5=8C.若a1a2a3,则数列an是递增数列D.若数列an的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1解析:由数列an是等比数列,知在A中,q2n-2,=q2是常数,数列是等比数列,故A正确;在B中,若a3=2,a7=32,则a5=8,故B错误;在C中,a1a20时,q1,数列an是递增数列,当a10时,0q0,则a8690,则a8680,则S8690D.若a20,则S8680解析:若a10,则q=1时,S8690,a8690;q1时,S869=0,a869=a1q86
3、80,因此C正确,A不正确.若a20,则q=1时,S8680,a8680;q1时,S868=,与0的大小关系与q的取值有关系,a868=a2q8660,因此B不正确,D不一定成立,因此不正确.答案:C5.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A.300米B.299米C.199米D.166米解析:小球10次着地共经过的路程为100+100+50+100=299300(米).答案:A6.已知等比数列an,an0,a1=256,S3=448,Tn为数列an的前n项之积,则当Tn取得最大值时,n等于()A.8或9B
4、.9C.8D.8.5解析:设等比数列an的公比为q,an0,q0.a1=256,S3=448,256(1+q+q2)=448,解得q=.an=256=29-n.Tn=282729-n=28+7+9-n=,当n=8或9时,Tn取得最大值.答案:A7.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点了381盏灯,则底层所点灯的盏数是.解析:设底层所点灯的盏数为x,则x+=381,即x=381,解得x=192.答案:1928.在等比数列an中,若a1=,a4=-4,则公比q=,|a1|+|a2|+|an|=.解析:设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,即-4=q3,解得q=-2.等
5、比数列|an|的公比为|q|=2,则|an|=2n-1,故|a1|+|a2|+|an|=(1+2+22+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.答案:-22n-1-9.记Sn为等比数列an的前n项和,若3S4=2S3+S5,a2=4,则a6=.解析:在等比数列an中,3S4=2S3+S5,2S4-2S3=S5-S4,2a4=a5,q=2.a2=4,a1=2,则a6=225=64.答案:6410.有纯酒精a L(a1),从中取出1 L,用水加满,然后取出1 L,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共取出纯酒精L.解析:用an表示每次取出的纯酒精,a1=1,加水后浓度为=1-,a2=1-,加水
6、后浓度为,a3=,依次类推,a9=,a10=.故.答案:11.已知正项等比数列an满足a1=1,a2a6a7=a1a9,则an=,数列log2an的前n项和为.解析:正项等比数列an满足a1=1,a2a6a7=a1a9,qq5q6=q8,且q0,q=,an=2-n+1.log2an=log22-n+1=-n+1,数列log2an的前n项和Sn=-(1+2+3+n)+n=-+n=-.答案:2-n+1-12.已知Sn为等比数列an的前n项和,公比q=2,且S2=3,等差数列bn满足b2=a3,b3=-b5.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn是数列bn的前n项和,求Tn的最大值.解:(1)Sn
7、为等比数列an的前n项和,公比q=2,且S2=3,S2=3,解得a1=1,数列an的通项公式an=2n-1.(2)设数列bn的公差为d.等差数列bn满足b2=a3=23-1=4,b3=-b5,4+d=-(4+3d),解得d=-2,b1=b2-d=4+2=6,Tn=6n+(-2)=-n2+7n=-.当n=3或n=4时,Tn取最大值T3=T4=12.13.如图,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n个内切圆的面积和.解:设第n个正三角形的内切圆的半径为an,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,所以每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.结合题意可知a1=atan 30=a,an=an-1,故前n个内切圆的面积和为(+)=.14.已知Sn为等比数列an的前n项和,a4=9a2,S3=13,且公比q0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数,使得数列Sn+是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可得解得a1=1,q=3,an=3n-1,Sn=.(2)假设存在常数,使得数列Sn+是等比数列,S1+=+1,S2+=+4,S3+=+13,(+4)2=(+1)(+13),解得=.此时Sn+3n,则=3,故存在常数=,使得数列Sn+是等比数列.