1、第四章质量评估(A)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设a=3525,b=2535,c=2525,则a,b,c的大小关系是()A.acbB.abcC.cabD.bca答案:A2.计算:2lg 2+lg 25等于()A.1B.2C.3D.4答案:B3. (2021新高考全国卷)已知a=log52,b=log83,c=12,则下列判断正确的是()A.cbaB.bacC.acbD.ab0,且a1)的图象过定点()A.(3,3)B.(3,4)C.(0,3)D.(0,4)答案:B5.下列四类函数中,具有性质
2、“对任意的m,nR,函数f(x)满足f(m+n)=f(m)f(n)”的是()A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 一次函数答案:C6.已知函数f(x)=ax3+bx+4(a,bR),f(lg(log2 10)=5,则flg(lg2) 的值为()A.-3B.-1C.3D.4答案:C7.若loga(4a-1)0,且a1),则a的取值范围是()A. 1,43B. 1,53C. 13,1D. 23,1答案:C8.将甲桶中的a L水缓慢注入空的乙桶中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设5 min后甲桶和乙桶的水量相等.若再过m min甲桶中的水有a4 L,则m的值为()
3、A. 10B. 9C. 8D. 5答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若2x=3,则x等于()A. log32B. log23C. lg2lg3D.lg3lg2答案:BD10.设函数f(x)=3x,x0,|log3x|,x0,若f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值可以是()A.12B.1C.-1D.2答案:AB11.若a,b是实数,其中a0,且a1,则满足loga(a-b)1的是()A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,0baD.0a1,b0,g(x)=f(x)
4、+x,若g(x)有且仅有一个零点,则a的取值可以是()A.-3B.-2C.0D.1答案:CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.求值:log34273+lg 25+lg 4+7log72=154.14.已知函数f(x)=2x+2,x1,loga(x-1),x1,a0,且a1,若ff(0)=2,则实数a的值是2.15.若函数f(x)=ax-1+3(a0)的图象经过定点P,则点P的坐标是(1,4).16.已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),函数g(x)=2-ax(a0,且a1).若当x0,1)时,函数f(x)与函数g(x)的值域的交集非空,则实数a的取值范围为(2,
5、+).四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算下列各式:(1)12-1-350+94-0.5+4(2-e)4;(2)lg 500+lg 85-12lg 64+50(lg 2+lg 5)2.解:(1)原式=2+1-1+23+e-2=23+e.(2)原式=lg 5+lg 102+lg 23 -lg 5-12lg 26+50(lg 10)2 =lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+50=52.18.(12分)已知f(x)=(log12x)2-2log12x+4,x2,4.(1)设t=log12x,x2,4,求t的最大值与最小值;(2)
6、求f(x)的值域.解:(1)因为函数t=log12x在区间2,4上是单调递减的,所以tmax=log122=-1,tmin=log124=-2.(2)令g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3.由(1),得t-2,-1,所以当t=-2时,g(t)max=12;当t=-1时,g(t)min=7,所以当x=4时,f(x)max=12;当x=2时,f(x)min=7.因此,函数f(x)的值域为7,12.19.(12分)已知函数f(x)=a3x2-3,g(x)=1a5x+5,其中a0,且a1.(1)若0a1,求满足不等式f(x)1的x的取值范围;(2)求关于x的不等式f(x)g(x)的解集.解:(1
7、)由不等式f(x)1,得a3x2-31,所以a3x2-3a0.因为0a0,即(x+1)(x-1)0,解得x1.故满足不等式f(x)1的x的取值范围为(-,-1)(1,+).(2)由不等式f(x)g(x),得a3x2-3a-5x-5.若0a1,则3x2-3-5x-5,所以3x2+5x+20,即(3x+2)(x+1)0,解得x-1或x-23.综上所述,若0a1,则所求解集为(-,-1-23,+).20.(12分)已知函数f(x)=13x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x0,2的实数解x0在哪个较小的区间
8、内.(1)证明:因为f(0)=10,f(2)=-130,所以f(0)f(2)=-130.因为f(1)f(2)=-190,所以下一个有解区间为(1,2).再取x2=12(1+2)=32,得f(32)=-180.因为f(1)f(32)=-12410.(2)由(1)知,当x0,10时,00.15x1.5.因为业务员小李获得3.5万元的奖金,3.51.5,所以x10.所以1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以业务员小李的销售利润是14万元.22.(12分)已知函数f(x)=|x|+mx-1(x0).(1)若对任意的x0,不等式f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)试讨论函数f(x)零点的个数.解:(1)当x0时,f(x)=x+mx-1,不等式f(x)0恒成立等价于x+mx-10恒成立,则有mx-x2(x0)恒成立,而x-x2=-(x-12)2+1414(x0),故m14.(2)令f(x)=|x|+mx-1=0,得m=x-x2,x0,x+x2,x0,x+x2,x14或m-14时,有一个零点;当m=14或m=0时,有两个零点;当-14m14,且m0时,有三个零点.