1、11.3导数的几何意义预习课本P68，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？1导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即k f(x0)2导函数的概念(1)定义：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)(2)记法：f(x)或y，即f(x)y .点睛曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无
2、穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)导函数f(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数f(x)0没有导函数()答案：(1)(2)(3)2设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交答案：B3已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)()A4B4C2D2答案：D4抛物线y2x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有_是它的切线，而_不是它的切线答案：y
3、轴x轴求曲线的切线方程典例已知曲线C：yx3，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程解 将x2代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4)y|x2 42x(x)24. ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.1过曲线上一点求切线方程的三个步骤2求过曲线yf(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0)(2)利用所设切点求斜率kf(x0)li .(3)用(x0，f(x0)，P(x1，y1)表示斜率(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程(6)将切线方程化为一般式活学活用过点(1，1)且与曲线yx32
4、x相切的直线方程为()Axy20或5x4y10Bxy20Cxy20或4x5y10Dxy20解析：选A显然点(1，1)在曲线yx32x上，若切点为(1，1)，则由f(1)li (x)23x11，切线方程为y(1)1(x1)，即xy20.若切点不是(1，1)，设切点为(x0，y0)，则kxx01，又由导数的几何意义知kf(x0) 3x2，xx013x2，2xx010，x01，x0.kxx01，切线方程为y(1)(x1)，即5x4y10，故选A.求切点坐标典例 已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为45.(2)切线平行于直线4xy20.(3)切线垂直于直线x8y3
5、0.解设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，当x0时，4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451.即f(x0)4x01，得x0，切点的坐标为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，k4，即f(x0)4x04，得x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，则k1，即k8，故f(x0)4x08，得x02，切点坐标为(2,9)求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出
6、切点纵坐标活学活用直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切，则a的值为_，切点坐标为_解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为y 3x22x，则y|xx03x2x01，解得x01或x0，当x01时，y0xx11，又(x0，y0)在直线yxa上，将x01，y01代入得a0与已知条件矛盾舍去当x0时，y0321，则切点坐标为，将代入直线yxa中得a.答案：层级一学业水平达标1下面说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，
7、f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在解析：选Cf(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线2曲线f(x)在点M(1，2)处的切线方程为()Ay2x4By2x4Cy2x4 Dy2x4解析：选C，所以当x0时，f(1)2，即k2.所以直线方程为y22(x1)即y2x4.故选C.3曲线yx32在点处切线的倾斜角为()A1 B.C. D解析：选By x2，切线的斜率ky|x11.切线的倾斜角为，故应选B.4曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，
8、则a等于()A1 B.C D1解析：选Ay|x1 li (2aax)2a，2a2，a1.5过正弦曲线ysin x上的点的切线与ysin x的图象的交点个数为()A0个 B1个C2个 D无数个解析：选D由题意，yf(x)sin x，则f .当x0时，cos x1，f0.曲线ysin x的切线方程为y1，且与ysin x的图象有无数个交点6已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.解析：由导数的几何意义得f(1)，由点M在切线上得f(1)12，所以f(1)f(1)3.答案：37已知曲线f(x)，g(x)过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点
9、处的切线方程为_解析：由，得两曲线的交点坐标为(1,1)由f(x)，得f(x)li ，yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y1(x1)即x2y10，答案：x2y108曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_解析：设f(x)yx23x，切点坐标为(x0，y0)，f(x0) 2x031，故x02，y0x3x0462，故切点坐标为(2，2)答案：(2，2)9已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解：根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y|xx0 2x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到
10、直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.10已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点的坐标解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，(x)2(3x02)x3x4x0.当x0时，3x4x0，即f(x0)3x4x0，由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02.切点的坐标为或(2,3)，当切点为时，有4a，a，当切点为(2,3)时，有342a，a5，当a时，切点为；a5时，切点为(2,3)层级二应试能力达标1.已知yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB
11、)D不能确定解析：选B由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f(xA)0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_解析：由导数的定义，得f(0) (axb)b.又因为对于任意实数x，有f(x)0，则所以ac，所以c0.所以2.答案：27已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值解：f(x) 2ax，f(1)2a，即切线斜率k12a.g(x) 3x2b，g(1)3b，即切线斜率k23b.在交点(1，c)处有公共切线，2a3b.又a11b，即ab，故可得8已知曲线yx21，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解：2xx，y (2xx)2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为ky|xx02x0，由点斜式可得所求切线方程为yy02x0(xx0)又切线过点(1，a)，且y0x1，a(x1)2x0(1x0)，即x2x0a10.切线有两条，(2)24(a1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(，2)
