1、第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.1直线的方向向量与平面的法向量课后篇巩固提升合格考达标练1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)答案A2.若u=(2,-3,1)是平面的一个法向量,则下列向量能作为平面的法向量的是()A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)答案D3.若平面,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(
2、1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案D解析因为平面,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.4.下列各组向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案D5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=152C.x=3,y=15D.x=6,y=152答案D解析由题意,有ab,则32=x4=y
3、5,得x=6,y=152.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是.(填序号)ABAA1B1BA1C1答案7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又n为平面ACD1的一个法向量,nAC=0,nAD1=0,(x,y,z)(-1,1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,化简,即x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.平面ACD1的一个法向
4、量n=(1,1,1).8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BDAC,DCAB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BDAC,DCAB,可得BDAC,DCAB,因此(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),解得x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).等级考提升练9.已知平面内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()
5、A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面的法向量,得ca=0,cb=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得m=-1,n=2.10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,1,12B.(1,2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)答案A解析PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),
6、则x-2=0,-x+y=0,解得x=2,y=2,n=(2,2,1).又1,1,12=12n,A正确.11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面过直线l与点M(1,2,3),则平面的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.14,-1,12C.-14,1,-12D.(0,-1,1)答案ABC解析因为PM=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面的一个法向量,则必须满足na=0,nPM=0,把选项代入验证,只有选项D不满足,故选ABC.12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且an=12,nb=14,则n=()A.(0,-
7、1,3)B.(0,1,3)C.(0,-1,-3)D.(0,1,-3)答案A解析设n=(0,y,z),由题意得3y+5z=12,4y+6z=14,解得y=-1,z=3.故n=(0,-1,3).13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)答案ABC解析DD1AA1,AA1=(0,0,1);BC1AD1,AD1=(0,1,1);直线AD平面ABB1A1,A
8、D=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD不垂直,D错误,ABC正确.14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面上任意一点,则点P的坐标满足的方程是.答案x-y+2z+1=0解析由题意知APn=0,即x-y+2z+1=0.15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y=.答案193解析根据题意可知ab,故存在实数,使a=b,即(x,2,1)=(1,y,3),即x=,2=y,1=3,解得=13,y=6,x=13,x+y=13+6=193.16.四边
9、形ABCD是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.解AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,以A为原点,以AD,AB,AS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),AD=(1,0,0)是平面SAB的法向量.设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z),则nDC=(1,y,z)(1,2,0)=1+2y=0,y=-12.又nDS=(1,y,z)(-1,0,2)=-1+2z=0,z=12.n=1,-12,12即为平面SCD的法向
10、量.新情境创新练17.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.根据题意可设PA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M12a,b,0.又PM平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得PM=mDB+nDD1,即12a,b-y,-z=(ma,mb,nc),即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,nR,则点P的坐标为0,b2,-nc.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.