1、函数的应用(二)必备知识基础练1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到()A.300只B.400只C.500只D.600只答案A解析当x=1时,y=100,得a=100,故当x=7时,y=100log28=300.2.今有一组数据如下表所示:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是()A.s=2t-3+1B.s=log2tC.s=t2-D.s=2t-2答案C解析画出数据点如图
2、所示.由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图像不是直线,排除选项D;此函数的图像不符合对数函数的图像,排除选项B.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 20.301,lg 30.477)()A.6B.9C.8D.7答案BC解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则,即,由nlg-lg20,即n(lg2-lg3)-(1+lg2),得n7.4.4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路
3、返回b km(b25.45,C正确;设出租车一次行驶xkm时,付费y元,由8+52.15+1=19.758,因此由y=8+2.155+2.85(x-8)+1=22.6,解得 x=9,D正确.12.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为 mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lg(m2-m1)=(-1
4、.45+26.7)=10.1,=1010.1,故选A.13.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t0,a0且a1).有以下叙述:第4个月时,剩留量会低于;每月减少的有害物质量都相等;若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中正确的是.(填序号)答案解析由图像可得,当t=2时,y=,即a2=,解得a=.故y=.所以当t=4时,有害物质的剩留量为y=,所以正确;第一个月减少的有害物质量为1-;第二个月减少的有害物质量为,显然两者不同,所以错误;由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故正确.14
5、.某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a0),如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?解设f(x)=px2+qx+r(p0).由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.f(4)=1.3.设g(x)=abx+c(a0).由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1
6、.3,得解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.g(x)=-0.80.5x+1.4.g(4)=1.35.|1.3-1.37|1.35-1.37|,用y=-0.80.5x+1.4作模拟函数较好.15.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=其中t为关税的税率,且t,x(单位:元)为市场价格,b,k为正实数,当t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图像求k,b的值;(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.解(1)由题图可知t=时,图像过点(5,1),(7,2),所以有解得
7、(2)当P=Q时,得,解得t=-.令m=,x9,m,在t=-(17m2-m-2)中,其图像的对称轴为直线m=,且,且图像开口向下,所以当m=时,t取得最小值,此时x=9.学科素养创新练16.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂
8、含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么从实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒?解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y是关于时间t的一个分段函数:当0t0.1时,函数的图像是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0t0.1时,y=10t.当t0.1时,函数解析式为y=,而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入得1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t0.1时,y=.综上,血液中麻醉剂的含量y与时间t之间的解析式为y=(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t0.1,且y0.125=.当t0.1时,由,得t-0.11,解得t1.1.所以至少需要经过1.1小时,病人才能清醒.8