1、2020届高考数学专练之自我检测（二）1、设集合，则( )A. B.C.D.2、已知，复数，若为纯虚数，则复数的虚部为( )A.1B.iC.D.03、从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按分组，绘制成频率分布直方图（如图）从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为( )A3B4C5D64、两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（ ）A B C D与5、在封闭的直三棱柱，内有一个体积为的球.若，则的最大值是()A. B. C. D. 6、曲线在点处的切线方程为( )ABCD7、已知在中，则一定为
2、( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形8、函数在区间上的最小值是（ ）A-1BCD09、已知空间四面体中， 两两垂直且 ，那么四面体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 10、过原点O作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 11、已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）A.B.C.D. 112、已知，函数，若函数恰有三个零点，则( )ABCD13、 已知函数，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为_14、若满足约束条件则的最大值为 .15、过点且与圆相切的直线方程是_.16、在锐角
3、三角形中，若，则的最小值是_17、已知数列的前n项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式;（2）令求数列的前n项和.18、如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面.（1）证明：；（2）若，求到平面ABC的距离19、央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市30名观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图(单位:分钟)，收视时间在35分钟以上(包括35分钟)的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下(不包括35分钟)的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名
4、，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率;（2）若从收视时间在40分钟以上(包括40分钟)的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.20、如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于.(1)求的值;(2)若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点.求的横坐标的取值范围.21、已知函数，曲线在处的切线方程为.1.求实数的值；2.求函数在的最值.22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（t为参数）（1）求曲线，的普通方程；（2）求曲线上一点P到曲线距离的取值范围23、已知函数.(1)
5、求不等式的解集；(2)若的最大值为m，正数满足，求证：. 答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：由题意可得， 2答案及解析：答案：A解析：由是纯虚数，得，此时，其虚部为1. 3答案及解析：答案：A解析：各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在的频率分别为，身高在的频数分别为，分层抽样的比例为 .所以，身高在内的学生中选取的人数为.故选A. 4答案及解析：答案：D解析：两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，则当曲线方程为：时，离心率为，当曲线方程为：时，离心率为. 5答案及解析：答案：B解析：得.设底面的内切圆的半径为，所以，因为，所以最大球的直径， 即.此时球的体积.故选B. 6答案及
6、解析：答案：C解析：当时，即点在曲线上则在点处的切线方程为，即故选C 7答案及解析：答案：C解析：，可得，可得一定为等腰三角形. 8答案及解析：答案：B解析：由题意可知：，则，当，即时， 取最小值，函数在区间上的最小值. 9答案及解析：答案：A解析：以SA，SB，SC两两垂直的线段分别作为从一个顶点出发的正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为球的半径为故球的表面积为 10答案及解析：答案：A解析：整理得，由题意得，解得，所以直线l过定点因为，所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为，半径为1，因为圆心
7、到直线的距离为，所以P到直线的距离的最大值为故选：A 11答案及解析：答案：B解析：解法一：由题意知.因为，所以，得由题意知，所以解法二：如图所示，有，所以，可求得. 12答案及解析：答案：C解析：函数恰好有3个零点，则方程有三个不同的实根，则，且时，即图像必过，又，（1）当即时，可知函数在R上单调递增，则仅有1个实根，即y仅有一个零点，不符合题意；（2）当即时，在上单调递减，在单调递增，要满足有3个不同实根，即和的图像有三个交点，则需在单调递增，且，综上所述，. 13答案及解析：答案：解析：当时，在上是减函数，由于恒成立，所以，故.当时，在上是增函数，由于恒成立，所以，即，且，显然这样的a不
8、存在故a的取值范围为 14答案及解析：答案：9解析：画图知可行域是封闭的三角形区域.易求得可行域的三个顶点的坐标分别是，依次代入目标函数可求得z的值是3，9，5，故. 15答案及解析：答案：解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即，由圆心到切线的距离等于半径得，此切线的方程，综上，圆的切线方程为或，故答案为：或. 16答案及解析：答案：8解析：，又，因此既最小值为8 17答案及解析：答案：（1）（2）解析：（1）由题意知当时， ，当时， 所以设数列的公差为d由即可解得所以数列的通项公式为.（2）由1知， 又得两式作差得: 所以
9、 18答案及解析：答案：（1）证明：连接，则O为与的交点，侧面为菱形，平面，平面ABO，平面ABO，.（2）作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，平面AOD，平面ABC.，为等边三角形，由，O为的中点，到平面ABC的距离为. 19答案及解析：答案：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是，选中的“朗读爱好者”有人，记为，“非朗读爱好者”有人，记为1，2，3;记:至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有，共10个;满足事件的有共7个，.（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40，41
10、，现要各抽一名，则有共10种情况.收视时间相差5分钟以上的有，共4种情况.故收视时间相差5分钟以上的概率. 20答案及解析：答案：(1)由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义得，即.(2)由(1)得，抛物线的方程为，可设.因为不垂直于轴，可设直线，由，消去得.故，所以.又直线的斜率为，故直线的斜率为.从而得直线:，直线:.所以.设，由三点共线得.于是，且，所以或.经检验，或满足题意.综上，点的横坐标的取值范围是解析： 21答案及解析：答案：（1），则，.（2）的定义域为，令，则，当时，递减；当时，递增， ，且， 22答案及解析：答案：（1）由题意，（为参数），则，平方相加，即可得：， 由（t为参数），消去参数，得，即. （2）设，P到的距离， ，当时，即，当时，即，. 取值范围为. 23答案及解析：答案：（1）当时，由，得，解得，此时；当时，由，得，解得，此时；当时，此时不等式无解.综上所述，不等式的解集为；（2）由1可知.当时，；当时，；当时，.所以，函数的最大值为，则.由柯西不等式可得，即，即，当且仅当时，等号成立.因此，.