1、阶段性测试题十一(计数原理与概率)理阶段性测试题十一(概率)文本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2012济南模拟)一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为()A.B.C. D.答案B解析所有基本事件总数为52，事件“摸到一张红心”包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为.(理)(2012平顶山一模)将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内
2、放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为()A6 B10C20 D30答案B解析从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法选择B.2(文)(2012武汉一模)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下盘棋，你认为最可能出现的情况是()A甲获胜B乙获胜C甲、乙下成和棋 D无法得出答案C解析两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是下成和棋(理)(2012福州模拟)来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁
3、判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有()A48种 B24种C36种 D96种答案A解析一号场地的安排方案有CCC12种，即表示从3个国家中选择2个，而后再从所选择的2个国家中各选择一名裁判，最后剩余1个国家的两名裁判，和另外2个国家各剩的一名裁判，将其分到两个场地易求得AA4种安排方案，综上，共有12448种安排方案3(2012徐州调研)从1,2,3，9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件
4、中，是对立事件的是()A BC D答案C解析中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从19中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件4(2011新课标理)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.答案A解析甲乙两位同学参加3个小组的所有可能性共339(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为P.5(文)(2012太原模拟)从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意
5、取两个数，两个数一奇一偶的概率是()A. B.C. D.答案D解析基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率为P.(理)(2012黄石一模)在(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数是()A135 B135C375 D117答案A解析(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9，且(1x)9的展开式的通项是Tr1C(x)rC(1)rxr，因此(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数等于1C(1)4C(1)1135.6(2012新乡一模)如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都
6、能击中木板 ，且击中木板上每个点的可能性都一样，则击中阴影部分的概率是()A1 B.C1 D与a的取值有关答案A解析由题意，阴影部分的面积为a24()2(1)a2，故所求概率为1.7(文)取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是()A. B.C. D.答案C解析把绳子4等份，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1m，故所求概率为P.(理)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢两局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率为()A0.216 B0.36C0.432 D0.648答案D解析据题意甲取胜有
7、两种情形(1)甲先胜两局概率为P10.620.36.(2)甲前两局中胜一局，第三局胜的概率为P220.6(10.6)0.60.288，甲获胜的概率为PP1P20.648.8(文)(2012扬州一模)连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a(m，n)与向量b(1，1)的夹角为，则的概率是()A. B.C. D.答案C解析基本事件总数为36，由cos0得ab0，即mn0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,
8、3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P.(理)(2012浙江温州五校联考)设随机变量X的分布列为X012P1p则X的均值的最小值是()A. B0C2 D随p的变化而变化答案A解析EX0122p，又0,1p0，0p，当p时，EX的值最小，最小值为2.9(文)(2012西安一模)已知kZ，(k,1)，(2,4)，若|4，则ABC是直角三角形的概率为()A. B.C. D.答案C解析|4，k2116，k215，k3，2，1,0,1,2,3.又(2k,3)若k22k30，则k1，k3；若0，则k8(舍去)；若0，则k2，P.(理)(2012咸阳一模)如图所示，在一个边长为1的
9、正方形AOBC内， 曲线yx2和曲线y围成一个叶形图(阴影部分), 向正方形AOBC内随机投一点(设点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A. B.C. D.答案B解析S阴(x2)dx，S正1，P，故选B.10(文)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为()A. B.C. D.答案C解析两点设为a，b，则0a1,0b1，两点之间的距离小于，则|ab|n的概率是_答案解析基本事件总数为5525个m2时，n1；m4时，n1,3；m6时，n1,3,5；m8时，n1,3,5,7；m10时，n1,3,5,7,9，共15个故P.(理)(2011大
10、纲全国卷)(1)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为_答案0解析本小题考查的内容是二项式中系数的求法Tr1C120r()rC(1)rx令r2，x的系数为C，令r18，x9的系数为C，CC0.14(文)(2012徐州一模)将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，恰有2面涂有颜色的概率是_答案解析先将正方体均匀切割成8个小正方体，再将每个小正方体同样切割成8个更小的正方体，这样共有24个2面涂有颜色的小正方体概率为.(理)(2012长沙调研)两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分
11、、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望大的是_答案乙解析战士甲得分的随机变量的分布列为：X123P甲0.40.10.5EX10.420.130.52.1.战士乙得分的随机变量分布列为：Y123P乙0.10.60.3EY10.120.630.32.2.EXEY，则战士乙获胜的希望大15(文)(2012晋中模拟)把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组只有一组解的概率是_答案解析由题意，当，即3m2n时方程组只有一解基本事件总数为36，满足3m2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个故满足3m2n的基本事件数为34个故所求概率为P.(理
12、)(2012西宁一模)为振兴旅游业，某省2012年面向国内发行总量为2000万张的优惠卡，向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡在该团中随机采访2名游客，则恰有1人持银卡的概率为_答案解析由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件A为“随机采访该团2名游客，恰有1名游客持银卡”，则P(A).三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2012成都一模)先后随机投掷2
13、枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数(1)求点P(x，y)在直线yx1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y24x的概率解析(1)每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6636个记“点P(x，y)在直线yx1上”为事件A，A有5个基本事件：A(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，P(A).(2)记“点P(x，y)满足y24x”为事件B，则事件B有17个基本事件：当x1时，y1；当x2，y1,2；当x3时，y1,2,3；当x4时，y1,2,3；当x5时，y1,2,3,4；当x6时，y1,2,3,4.P(B).17(本小题满分1
14、2分)(文)一盒中装有各色球12个，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率解析可按互斥事件和对立事件求概率的方法，利用公式进行求解(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有549种不同取法，任取1球有12种取法任取1球是红球或黑球的概率为.(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法从而得红球或黑球或白球的概率为.(理)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条
15、件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解析(1)一名女生，四名男生故共有CC350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有CCCC825(种)或采用间接法：CC825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为CCCCC966(种)18(本小题满分12分)(文)设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷
16、一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率解析(1)设集合A中的点(x，y)B为事件M，区域A的面积为S136，区域B的面积为S218，P(M).(2)设点(x，y)在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数(x，y)为36，其中在集合B中的点有21个，故P(N).(理)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰有一个红球”，事件B为“第3个是红球”求：(1)不放回时，事件A、B的概率；(2)每次抽后放回时，A、B的概率解析(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共654
17、120个，又事件A中含有基本事件324372个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有243种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，P(A).因为红球数占总球数的，在每一次抽到都是随机地等可能事件，P(B).(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63216种，事件A含基本事件324496种P(A).第三次抽到红球包括B1红，黄，红，B2黄，黄，红，B3黄，红，红，B4红，红，红四种两两互斥的情形，P(B1)；P(B2)；P(B3)；P(B4)，P(B)P(B1)P(B2)P(B3)P(B4).19(本小题满分12分)(文)(2011北京文)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名
18、同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解析(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为；方差为s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机
19、选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C).(理)(2011北京理)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8
20、，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解析(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为；方差为s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4416种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价
21、于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)171819202119.20(本小题满分13分)(文)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球是概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二
22、次取出的小球标号为b.记事件A表示“ab2”，求事件A的概率解析(1)由题意可知：，解得n2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个P(A).(理)(2012合肥一模)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中
23、价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0,1,2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(1)求1，2的概率分布和数学期望E1、E2；(2)当E1E2时，求p的取值范围解析(1)由题意得1的概率分布列为11.21.181.17PE11.21.181.171.18.由题设得B(2，p)，则的概率分布列为012P(1p)22p(1p)p2故2的概率分布列为21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E21.3(1p
24、)21.252p(1p)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E1E2得， p20.1p1.31.18(p0.4)(p0.3)00.4p0.3，因为0p1，所以E1E2时，p的取值范围是0p0.3.21(本小题满分14分)(文)(2012宜川质检)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解析(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.基本事件空间为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1
25、)，共包含12个基本事件；其中A(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件则P(A)，即向量ab的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.基本事件空间为，B，则P(B)，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.(理)(2011山东理)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E.解析(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙
26、胜C的事件为F，则，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5由对立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知 F、E、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35.P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列为：0123P0.10.350.40.15因此E00.110.3520.430.151.6.高考资源网w w 高 考 资源 网
