1、 五年全国卷高考解析几何试题数据分析表 2021年2020年2019年2018年2017年全国1卷（甲）彭赛列定理与双切线处理极点极线结构抛物线的焦半径椭圆的极点极线结构斜率乘积为定值过定点全国2卷（乙）抛物线阿基米德三角形基础定义椭圆第三定义抛物线的焦点弦定点问题全国3卷（丙）解析几何中的全等型抛物线阿基米德三角形椭圆的焦半径抛物线的焦点弦新课标1卷平面几何四点共圆斜率乘积为定值过定点目录第1讲：圆锥曲线的双切线处理技巧第2讲：抛物线阿基米德三角形第3讲：圆锥曲线中的四点共圆第4讲：极点极线结构及非对称韦达定理第5讲：与斜率和，斜率积有关的定点定值第6讲：抛物线焦半径与焦点弦第7讲：解析几何
2、中的全等型第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦第9讲：椭圆的第三定义第10讲：双曲线渐近线几何性质研究第11讲：椭圆左右顶点的极点极线结构第12讲：圆锥曲线切线的处理手法第13讲：角度模型与角度转化第14讲：蒙日圆模型第15讲：面积问题第16讲：线段比值与坐标处理第17讲：轨迹问题第18讲：二次曲线系及应用第19讲：直线参数方程及应用第20讲：重要二级结论汇编 第1讲：圆锥曲线的双切线处理技巧1.知识要点.这道试题主要的点在算理，即计算中如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设.第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数
3、关系，式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程；第3步：利用方程根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.1抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由【详解】（1）依题意设抛物线，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，
4、此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算. 而选取什么量可将题目中的信息联系起来，又如何将已知信息转化到所设变量上去，困惑到底开始是“设点”还是“设线，因此，在遵循“设列解”程序化解题的基础上，先突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路
5、方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.一知识回顾：1（2020浙江杭州市高三期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为_，PMN面积的取值范围是_.2. (2018浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大.二高考再现【例1】(2020浙江卷)如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值 【例2】 (2019浙江卷)如图，已知点F(1，0)为抛物线y22px(p0)
6、的焦点.过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧.记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标.【变式训练】1.已知抛物线，过直线上点作抛物线的切线，其中 为切点，则直线恒过定点 ，且的最大值是 【变式训练】2.(2020台州期末评估)设点P为抛物线：y2x外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B. (1)若点P为(1，0)，求直线AB的方程；(2)若点P为圆(x2)2y21上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求的取值范围.
7、1.小结：点，直线，曲线作为几何中的基本图形，构建起我们研究的解析几何对象。解析几何的基本方法是坐标法，因此要将几何关系转化为点的坐标，直线，曲线方程中的有关系数等变量，无论是“设点”还是“设线”的核心都是在建立起众多变量之间的联系。2.一般来说，“设线”是至多只有两个变量，表达出“问题所需量”时，具有变量少，运算思路简洁的特点。而“设点”相对而言变量更多，相关变量间的关系更复杂，运算能力要求更高，思维量的提升往往带来运算量的降低，特别是当直线无法方便的将“问题所需量”与之联系起来时，“设点”往往是较优方案。总结：常规“设线”，优化“设点”，简单“设线”，复杂“设点”，有时点线同设，互相辅助。
8、三当堂巩固1.(2020浙江三校三联)已知过原点O的射线l与圆(x1)2(y1)22交于点P，与椭圆y21交于点Q，则|OP|OQ|的最大值为A.4 B.2 C.2 D.22（2020浙江高三月考）已知抛物线，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则的最小值是_3.(2020宁波模拟)若抛物线C1：y22px(p0)上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4. (1)求p的值；(2)设P(x0，y0)(0x02)为抛物线C1上的动点，过P作圆(x1)2y21的两条切线分别与y轴交于A，B两点，求|AB|的取值范围.4（2020浙江高三期中）已知直线与
9、抛物线交于A、B两点， P是抛物线C上异于A、B的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补（1）求k的值（2）求面积的取值范围5（2020浙江高三期中）设抛物线上一点到焦点的距离等于6，过作两条互相垂直的直线和，其中的斜率为，且与抛物线交于不同的两点，与抛物线的准线交于点，若，点满足.（1）求抛物线的方程；（2）求的面积的取值范围. 第2讲：抛物线阿基米德三角形（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明
10、：设,则又因为，所以.故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立所以直线恒过定点.（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，于是.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时因此，四边形的面积为或. 第3讲：圆锥曲线中的四点共圆1.基础知识：（1）圆锥曲线四点共圆：若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是. （2）相交弦定理：2.典例（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2
11、）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.解析：因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，所以，轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，所以，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.3.练习 (2016年高考四川卷第20题)已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同
12、的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：.解 (1)(过程略)椭圆的方程是.(2)设，线段的中点为.可得，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得所以，由推论1得四点共圆.再由相交弦定理，立得. 第4讲：极点极线结构及非对称韦达定理1.基础知识:极点极线椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（ab0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？如图，若点在曲线外，过点作两条割线依次交曲线于且与
13、交于，延长交于点,则直线即为点所对应的极线.假设椭圆方程为（1）焦点与准线：点与直线；（2）点与直线2.非对称韦达定理在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.3.典例（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=
14、6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解析：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点4.练习：（2010江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F. 设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设
15、,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即联立方程组，解得：，所以点T的坐标为（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、（方法1）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法2）若，则由及，得
16、，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）. 第5讲：与斜率和，斜率积有关的定点定值1.基本结论：设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；（1） 若，则有，（2） 若，则直线过定点，（3） 若，则有，（4） 若，则直线过定点.2.典例1.（2020新高考卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2) 设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得
17、，因为，所以，即，根据,代入整理可得：， 所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：， 解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.典例2. （2018年1卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.解析：（1）由已知得，l的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的
18、方程为，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.典例3.（2017一卷）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线过定点.解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得. 故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得，由题设可知.设A（x1，y1）
19、，B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）第6讲：抛物线焦半径与焦点弦1.常用结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为.性质1.,.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的
20、方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（1）.（2）.证明：略性质4.抛物线的通径(1).通径长为.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.证明思路：中点弦问题，点差法即可.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.2典例.例1.（2019年全国1卷）已知抛物线方程的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为.（1） 若，求的方程；（2） 若，求解析：（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立得：则
21、 ，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则 ， ， 则例2.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点， （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得 ，故所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或第7讲：解析几何中的全等型1.基本知识:“一线三垂直”的证明1.如图，ABB
22、D，ACCE，EDBD，且AC=CE求证：RtABCRtCDE证明：在RtABC中， A+ABC+ACB=180 BCD是平角 ACB+ACE+DCE=180 ABC= ACE= 90 A=DCE，AC=CERtABCRtCDE（AAS）典例（2020三卷）已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积【详解】（1），根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即；（2）不妨设,在x轴上方点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图，又，根据三角形全等条件“”，可得：，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：
23、或，点为或，当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：；当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：. 第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦1. 基础结论 (1).椭圆两焦点为（过左焦点）（过右焦点）其中e是椭圆的离心率.(2).椭圆（过左焦点）（过右焦点）(3).若，则.2.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，进一步，有3. 中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，
24、两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）椭圆：交点在x轴上时 直线与椭圆相交于点A、B设点A(),B()A、B在椭圆上 则 即 -得： 即 则 （其中M为A、B中点，O为原点）同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点则2.典例（2018三卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差
25、数列.设该数列的公差为d，则.将代入得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以该数列的公差为或. 第9讲：椭圆的第三定义1.基础知识：如图，椭圆上任意一点与过原点为中心的弦的两端点、连线、与坐标轴不平行，则直线、的斜率之积为定值证明 设，则所以 由得，所以，所以为定值这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.2.典例：(2019年高考数学课标全国卷理科)已知点，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线求的方程，并说明是什么曲线；过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点证明：是直角三角形；求面积的
26、最大值【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解所以有，代入直线方程中，得，所以点的坐标为，直线的斜率为; ,因为所以，因此是直角三角形；（ii）由（i）可知：，的坐标为，,因为，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.第10讲：双曲线渐近线的几何性质探究1.如图
27、，圆，渐近线，准线及圆四者交于点.关于点，有如下的性质：（1）直线垂直于渐近线且，又，故是双曲线的特征三角形；（2）直线与圆切于点.2.如图，圆与渐近线相交于点，设与渐近线相交于点，若恰为的中点，则有：（1）；（2）圆，渐近线，准线及圆四者交于点；点与点关于轴对称；（3），是等边三角形.例1.求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程.例2. 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程.方法指导（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为的形式，的值为正时焦点在轴上，为负时焦点在轴上.例3. 如果双曲线的渐近线方程是，求离心率.例4. 根据以下条件，分别求出双曲
28、线的标准方程.（1）过点，离心率.（2）已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）ABCD例5双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为ABC2D四练习题1.双曲线的顶点坐标是 （ ）A. B.或C. D.或2.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ）A. B. C.2 D.33.过点(2，-2)且与有公共渐近线的双曲线方程是 （ ）A. B.C. D.4若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD5已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是ABCD6
29、若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2则双曲线C的离心率为（ ）ABCD7已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（ ）ABCD8在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_9直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为_10已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_11双曲线：的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为_12设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐
30、近线方程为 第11讲：椭圆左右顶点有关的极点极线结构解析几何中设而不求、整体代换时，通常是将点的坐标代入表达式后整体代换，或使用韦达定理出现两根的和与积，再整体代换。以下通过两例展现另一种整体代换的方法，颇具美感。例1 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：和直线l：，（其中r和a均为常数，且），M为l上一动点，A、B为圆C与轴的两个交点，直线、与圆C的另一个交点分别为P、Q。求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标。析：设、，根据图形的对称性，设定点 由题知与共线，得 与共线，得 +得： -得： 与共线，得 又因为： -得：为看清以上等式，设则由式得： 相除得：，得故PQ过定点。评：（1）本题较难
31、，常规运算很复杂，极少有同学能够计算彻底。（2）由向量共线得分式，将其进行加减运算，得，结合假设定点N与P、Q共线方程，利用点P、Q在圆上，将相加减，为了将问题看清，重新整体换元，得最后方程组，再相除得结果。（3）本题中分式加减后构造元素进行整体消元的方法，计算量小，形式优美。（4）数学美有简洁美、对称美、和谐美、奇异美等，本题的解法中都有体现。例2 已知椭圆C：，设点，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。解析：设，。由题知，与共线，故有。同理可得：与共线，故有。将得：又由点A、B、E均在椭圆上，故有与比较，从而得：。所以
32、直线AE与x轴相交于定点Q 。评：（1）本题是椭圆中的中档难度题，改作其他方法作答也可得。 （2）使用分式相乘后即得可以整体换元的方程。求解过程计算量小，形式优美。练习：1. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A、B两点，C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N。（1）求a、b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。2. 设椭圆C：，当过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A、B时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上。3.已知椭圆，、是左右顶点，直线MN过点D交椭圆于M、N，直线、相交于点G。证明：
33、点G在定直线上。答案：1析：（1）椭圆方程为：。（2）设，由点A、N、D三点共线与共线，故有由点A、C、M三点共线与共线，故有由点B、N、C三点共线与共线，故有由点B、M、D三点共线与共线，故有得：，而，故得：得：，而，故得：由-得：为定值。2析：设，如图，则有而两式相减得：故Q在直线上。3析：由题知、，。设、，由题A1、M、G三点共线，且、。得 又A2、N、G三点共线，且、。得 又M、D、N三点共线，且，得 由相加得： 相减得： 再点、在椭圆上，故得 由解得：。（见附注。）故点G在直线上。附注：1本题具有美感，以上解法保留了题目特色，体现了整体代换的思想，技巧性强，难度大。2如果“由解”有难
34、度，补充：令则有：，由（7）、（8）得，从而得解。第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。（一）椭圆的切线：在点P()处的切线方程为过椭圆外一点Q（）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为直线与椭圆相切时，满足例：已知P为椭圆上一动点，求点P到直线的最小值与最大值。（二）双曲线的切线：在点P()处的切线方程为过椭圆外一点Q（）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为直
35、线与椭圆相切时，满足（三）抛物线的切线： 上某点P（）的切线斜率为,点P()，则切线方程为 ，即，通过观察我们知道:与x轴的交点为，切线与x轴的截距为切点处横坐标的一半，与y轴的交点为，在y轴上的截距为切点纵坐标的相反数。 A（），B（）均在抛物线上，请推证A、B处两切线及其两切线的交点坐标。 A点处切线 B点处切线两条切线的焦点坐标（）我们发现：i、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M的横坐标ii、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：(为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标()与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物
36、线相交于A、B两点，过A、B分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P的直线为，联立 得设A点处切线, B点处切线则两条切线的焦点坐标Q（）证 毕延伸二、过点Q（）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A、B，直线AB与y轴的截距为-b斜率切点弦方程为：对于焦点在x轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用求解。需要需注意的是：过抛物线外一点做与抛物线仅有一个交点的直线有三条：除了两条切线之外还有一条与x轴平行（即斜率为0的直线与抛物线也只有一个交点。例1: 在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为 例2： 已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2(r0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（）求r；（）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离
