1、第3讲 函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非
2、零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x)存在一个最小诊 断 自 测答案 D答案 B答案 15.(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_.解析 当x0时，则x0，f(x)(x)(1x).又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，即f(x)x(1x).答案 x(1x)规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于
3、原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)(2015安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.yln x B.yx21 C.ysin x D.ycos x(2)(2014课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数
4、 D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)yln x的定义域为(0，)，不关于原点对称，所以yln x既不是奇函数也不是偶函数；yx21是偶函数，但不存在零点；ysin x为奇函数；ycos x是偶函数且存在零点，故选D.(2)依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函 数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f
5、(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.答案(1)D(2)C答案(1)C(2)B规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式.(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)
6、f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.规律方法(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)即可，且周期为T.(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.思想方法1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出；(3)求解析式中的参数，利用待定系数法求解；(4)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.易错防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.