1、陕西省宝鸡市2021届高三数学下学期大联考试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x22x30，BN，则集合AB（）A0B0，1C0，1，2D1，2，32已知i为虚数单位，纯虚数z满足（z+a）i1+i，则实数a（）A1B1C0D23我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人（）A8000B8100C8200D8
2、3004设双曲线的实轴长与焦距分别为2，4，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCDy3x5函数f（x）的零点之和为（）A1B1C2D26函数的单调递增区间为（）ABCD7设公差为质数的等差数列an的前n项和为Sn，已知a5+a7+a915，则S15不可能为（）A120B135C180D2408已知两个单位向量，的夹角为60，向量t+2（t0），则（）A的最大值为B的最小值为2C的最小值为D的最大值为29已知不等式组表示的平面区域为等边三角形，则zx+3y的最小值为（）A2+3B1+3C2+D1+10点M为圆C：（x+2）2+（y+1）21上任意一点，直线（1+3）x+（1+2）y2+5过定点P，
3、则|MP|的最大值为（）A2BC2+1D+111已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A36B52C56D22412抛物线y28x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两点，x1+x2+4|AB|，则AFB的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则tan 14若的展开式中的系数为1，则|a| 15在等差数列an中，a24，且1+a3，a6，4+a10成等比数列，则公差d 16若曲线yx3ax2存在平行于直线y3x+1的切线，则a的取值范围为 三、解答题：共70分，解答
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4csinB3asinC，tan（1）求sinB；（2）设D为AB边上一点，且BD3AD，若ABC的面积为24，求线段CD的长18如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD平面CDEF，四边形CDEF是边长为2的正方形，四边形ABCD是直角梯形，其中BCAD，BCCD，且BCCDAD（1）证明：BEDF；（2）求平面ABF与平面CDEF所成的锐二面角的余弦值19抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个
5、专注年轻人的15秒音乐短视频社区用户可以通过这款软件选择歌曲，拍摄15秒的音乐短视频，形成自己的作品2018年6月首批25家央企集体入驻抖音一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取7人（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人是抖音迷，4人为非抖音迷，现从这7人中随机抽取3人做进一步的详细登记（）用X表示抽取的3人中是抖音迷的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（）设A为事件“抽取的3人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求事件A发生的概率20已知函数，其中a
6、e（1）若a2，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（1，2）内只有一个零点，求a的取值范围21已知点F（）是椭圆C：1（ab0）的一个焦点，点M（）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且kOA+kOB（O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线C1：y3，圆C2：（x+1）2+（y1）22以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为（R），设C
7、3与C1，C2的交点为M、N（异于原点），求C2MN的面积选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|x+2|（1）求不等式f（x）2的解集M；（2）当xM时，|f（x）|a2a，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x22x30，BN，则集合AB（）A0B0，1C0，1，2D1，2，3解：集合Ax|x22x30x|1x3，又BN，所以AB0，1，2故选：C2已知i为虚数单位，纯虚数z满足（z+a）i1+i，则实数a（）A1B1C0D2解：设纯虚数zbi，bR，则（z+a）i1+i可化
8、为bi2+ai1+i，即（b1）+（a1）i0，所以a10，解得a1故选：B3我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人（）A8000B8100C8200D8300解：设北面人数为x，根据题意知，解得x8100，所以北面共有8100人故选：B4设双曲线的实轴长与焦距分别为2，4，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCDy3x解：因为2a
9、2，2c4，所以，所以C的渐近线方程为故选：C5函数f（x）的零点之和为（）A1B1C2D2解：当x0时，令6x20，解得xlog62，当x0时，令x+log6120，解得xlog612，故函数f（x）的零点为log62和log612，其和为故选：A6函数的单调递增区间为（）ABCD解：因为f（x）sin3x，所以只要求ysin3x的递减区间令，解得，原函数的单调递增区间为：故选：A7设公差为质数的等差数列an的前n项和为Sn，已知a5+a7+a915，则S15不可能为（）A120B135C180D240解：在等差数列an中，由a5+a7+a915，得3a715，a75，设等差数列an的公差为
10、d，（d为质数），则a85+d，S15，若S15120，则15（5+d）120，得d3，符合题意；若S15135，则15（5+d）135，得d4，不符合题意；若S15180，则15（5+d）180，得d7，符合题意；若S15240，则15（5+d）240，得d11，符合题意故选：B8已知两个单位向量，的夹角为60，向量t+2（t0），则（）A的最大值为B的最小值为2C的最小值为D的最大值为2解：因为t0，所以，当，即t4时，取得最大值，且最大值为故选：A9已知不等式组表示的平面区域为等边三角形，则zx+3y的最小值为（）A2+3B1+3C2+D1+解：由约束条件作出不等式组表示的平面区域如图所
11、示，要使可行域为等边三角形，则直线ykx与直线x1的夹角为60，则直线ykx的倾斜角为30，则k，直线ykx为y联立，解得A（1，），化zx+3y为y，由图可知，当直线zx+3y经过点时，z取得最小值故选：D10点M为圆C：（x+2）2+（y+1）21上任意一点，直线（1+3）x+（1+2）y2+5过定点P，则|MP|的最大值为（）A2BC2+1D+1解：由直线方程（1+3）x+（1+2）y2+5，得（x+y2）+（3x+2y5）0，解得，故P（1，1），|PC|1，则P在圆外，又点M为圆C：（x+2）2+（y+1）21上任意一点，|MP|的最大值为+1，故选：D11已知某三棱锥的三条侧棱两两
12、相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A36B52C56D224解：设三条侧棱长分别为a，b，c，则，解得：a4，b2，c6把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为三棱锥的外接球的半径为，则三棱锥的外接球的表面积为故选：C12抛物线y28x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两点，x1+x2+4|AB|，则AFB的最大值为（）ABCD解：由题意可得|AF|+|BF|x1+x2+4，x1+x2+4|AB|，|AF|+|BF|AB|在AFB中，由余弦定理得：cosAFB11又|AF|+|BF|AB|2，|AF|BF|AB|2cos
13、AFB10，AFB的最大值为故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则tan解：设tanx，由题意得，解得故答案为：14若的展开式中的系数为1，则|a|解：因为的展开式中的项为，所以10a21，则，故答案为：15在等差数列an中，a24，且1+a3，a6，4+a10成等比数列，则公差d3解：设等差数列的公差为d，1+a3，a6，4+a10成等比数列，a62（1+a3）（4+a10），即（a2+4d）2（1+a2+d）（4+a2+8d），a24，整理得：d22d30，解得：d3，或d1，当d1时，a60舍去，故答案为：316若曲线yx3ax2存在平行于直线y3x+1的切
14、线，则a的取值范围为（，3（3，+）解：设切点为（m，n），yx3ax2的导数为y3x22ax，可得切线的斜率为3m22am，由切线平行于直线y3x+1，可得3m22am3，由4a2360，解得a3或a3，当切点（m，n）在直线y13x上，可得13mm3am2，且3m22am3，可得m33m+2（m1）2（m+2）0，解得m1或m2，当m1时，a3，3m26m+30有两个相等的实数根，曲线yx3ax2不存在平行于直线y3x+1的切线，当m2时，a，2m2+5m+20有两个不相等的实数根，曲线yx3ax2存在一条平行于直线y3x+1的切线，故答案为：（，3（3，+）三、解答题：共70分，解答应写
15、出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4csinB3asinC，tan（1）求sinB；（2）设D为AB边上一点，且BD3AD，若ABC的面积为24，求线段CD的长解：（1）4csinB3asinC，4sinCsinB3sinAsinC，sinC0，（2）sinBsinA，B为锐角，又，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB1，则ABC的面积为，ab48，a8，b6，c10，又BD3AD，18如图，在多面体ABCDEF中，
16、平面ABCD平面CDEF，四边形CDEF是边长为2的正方形，四边形ABCD是直角梯形，其中BCAD，BCCD，且BCCDAD（1）证明：BEDF；（2）求平面ABF与平面CDEF所成的锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：连结CE，DF，因为四边形CDEF是正方形，所以DFCE（1分）因为BCCD，平面ABCD平面CDEF，所以BC平面CDEF，从而DFBC又BCCEC，BC，CE平面BCE，所以DF平面BCE，BE平面BCE，所以BEDF（2）解：如图所示，以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，依题意知A（4，0，0），B（2，2，0），F（0，2，2），D（0，0，
17、0）设平面ABF的法向量为（x1，y1，z1），令y11，则，所以（1，1，1）取平面CDEF的法向量为（1，0，0），设该二面角的平面角为，所以19抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的15秒音乐短视频社区用户可以通过这款软件选择歌曲，拍摄15秒的音乐短视频，形成自己的作品2018年6月首批25家央企集体入驻抖音一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取7人（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人是抖音迷，4人为非抖音迷，现从这7人中随机抽取3人做进一步的详细
18、登记（）用X表示抽取的3人中是抖音迷的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（）设A为事件“抽取的3人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求事件A发生的概率解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取的3人中，是抖音迷的员工有1人，非抖音迷的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，是抖音迷的员工有2人，非抖音迷的员工有1人”，则ABC，
19、且B与C互斥，由（i）知P（B）P（X1），P（C）P（X2），故所以，事件A发生的概率为20已知函数，其中ae（1）若a2，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（1，2）内只有一个零点，求a的取值范围解：（1）根据题意，函数，若a2，则f（x）（x3）exx2+4x，则有f（x）（x2）（ex2），令f（x）0，得x1ln2，x22；令f（x）0，得ln2x2；令f（x）0，得xln2或x2故f（x）在（ln2，2）上单调递减，在（，ln2），（2，+）上单调递增（2）函数，则f（x）（xa）（exa），分3种情况讨论：、当a1时，f（x）0对x（1，2）恒成立，则f（x）在（1，2）上
20、单调递增，从而，则有a（0，1）、当1a2时，f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，2）上单调递增，又由，f（a）0，则有，此时无解、当2ae时，f（x）0，对x（1，2）恒成立，则f（x）在（1，2）上单调递减，此时f（1）0，则f（x）在（1，2）内没有零点综上，a的取值范围为（0，1）21已知点F（）是椭圆C：1（ab0）的一个焦点，点M（）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且kOA+kOB（O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围解：（1）由题意可得，解得a24，b21，椭圆方程为+y21；（2）设直线l的方程为ykx+m，A（x1，y1），B
21、（x2，y2）联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，由题意知（8km）24（4k2+1）（4m24）16（1+4k2m2）0，x1+x2，x1x2，kOA+kOB+2k+m（+）2k+m2k+m，m21+4k，把代入可得4k24k0，解得k0或k1，又m21+4k0，解得k故直线l的斜率为取值范围为，0）（1，+）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线C1：y3，圆C2：（x+1）2+（y1）22以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求C1，C2的极坐标方程；
22、（2）若直线C3的极坐标方程为（R），设C3与C1，C2的交点为M、N（异于原点），求C2MN的面积解：（1）直线C1：y3，根据，转换为极坐标方程为sin3；圆C2：（x+1）2+（y1）22，根据转换为极坐标方程为2sin2cos，（2）直线C3的极坐标方程为（R），转换为直角坐标方程为，所以C3与C1的交点为M，故，解得直线C3与C2的交点为N，所以，解得或，故N（），所以|MN|，点C2（1，1）到直线y的距离d，所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|x+2|（1）求不等式f（x）2的解集M；（2）当xM时，|f（x）|a2a，求实数a的取值范围解：（1）f（x）|x1|x+2|，当x1时，f（x）2；当2x1时，由2x12，得x综上所述，不等式f（x）2的解集M为（2）由（1）得，当xM时，f（x）2，那么|f（x）|0，从而可得a2a0，即实数a的取值范围是（0，1）
