1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二节不等式的证明【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种名称作差比较法作商比较法理论依据abab0abab0，1abb1ab1，xa，yb，则x与
2、y的大小关系是()Axy Bxb1得ab1，ab0，所以0.即xy0，所以xy.答案：A3已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_解析：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案：MN4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_解析：由题意得，ab1，a0，b0，(ab)222 4，当且仅当ab时等号成立答案：4一点注意使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件三种方法1比较法：作差比较法主要判断差
3、值与0的大小，作商比较法在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)2分析法：BB1B2BnA(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)3综合法：AB1B2BnB(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)1(2014江苏卷)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy23 0，1x2y3 0，故(1xy2)(1x2y)3 3 9xy.3(2016长春模拟)(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所
4、以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.4(2014课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b32 4 ，且当ab
5、时等号成立所以a3b3的最小值为4 .(2)由(1)知，2a3b2 4 .由于4 6.从而不存在a，b，使得2a3b6.5(2016石家庄)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f.(1)解：f(x)f(x4)|x1|x3|当x1时，由2x28，解得x3.所以不等式的解集为x|x5或x3(2)证明：依题设f(ab)|a|f|ab1|ab|.因为|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|，故所证不等式成立6(2016豫东、豫北十校联考)已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1，1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x)k|x3|所以f(x3)0等价于|x|k由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0的解集为1，1因此k1.(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数所以a2b3c(a2b3c)3332 2 2 9.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.高考资源网版权所有，侵权必究！