1、习题精选一、选择题1过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，若 ， 在抛物线准线上的射影分别是 ， ，则 为（）A45B60C90D1202过已知点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有（）A1条B2条C3条D4条3已知 ， 是抛物线 上两点， 为坐标原点，若 ，且 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线 的方程是（）ABCD 4若抛物线 （ ）的弦PQ中点为 （ ），则弦 的斜率为（）ABCD 5已知 是抛物线 的焦点弦，其坐标 ， 满足 ，则直线 的斜率是（）ABCD 6已知抛物线 （ ）的焦点弦 的两端点坐标分别为 ， ，则 的值一定等于（）A4B4CD 7已知 的圆心在抛物线 上，且
2、与 轴及 的准线相切，则 的方程是（）AB CD 8当 时，关于 的方程 的实根的个数是（）A0个B1个C2个D3个9将直线 左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线 仅有一个公共点，则实数 的值等于（）A1 B1 C7 D910以抛物线 （ ）的焦半径 为直径的圆与 轴位置关系为（）A相交 B相离 C相切 D不确定11过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 长是（）A10 B8 C6 D412过抛物线 （ ）的焦点且垂直于 轴的弦为 ， 为抛物线顶点，则 大小（）A小于 B等于C大于D不能确定13抛物线 关于直线 对称的曲线的顶点坐标是（）A（0，0）B（2，2）C（2，
3、2）D（2，0）14已知抛物线 （ ）上有一点 ，它到焦点 的距离为5，则 的面积（ 为原点）为（）A1BC2D 15记定点 与抛物线 上的点 之间的距离为 ， 到此抛物线准线 的距离为 ，则当 取最小值时 点的坐标为（）A（0，0）BC（2，2）D 16方程 表示（）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆17在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则 的坐标为（）A（2，8）B（2，8）C（2，8）D（2，8）18设 为 过焦点的弦，则以 为直径的圆与准线交点的个数为（）A0 B1 C2 D0或1或219设 ， 为抛物线 上两点，则 是 过焦点的（）A充分不必要B必要不充分C充要D不
4、充分不必要20抛物线垂点为（1，1），准线为 ，则顶点为（）ABCD 21与 关于 对称的抛物线是（）ABCD 二、填空题1.顶点在原点，焦点在 轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_2.抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_3过点（0，4）且与直线 相切的圆的圆心的轨迹方程是_4抛物线 被点 所平分的弦的直线方程为_5已知抛物线 的弦 过定点（2，0），则弦 中点的轨迹方程是_6顶点在原点、焦点在 轴上、截直线 所得弦长为 的抛物线方程为_7已知直线 与抛物线 交于 、 两点，那么线段 的中点坐标是_ _8一条直线 经
5、过抛物线 （ ）的焦点 与抛物线交于 、 两点，过 、 点分别向准线引垂线 、 ，垂足为 、 ，如果 ， ， 为 的中点，则 =_9 是抛物线的一条焦点弦，若抛物线 ， ，则 的中点 到直线 的距离为_10抛物线 上到直线 的距离最近的点的坐标是_11抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为_12已知圆 与抛物线 （ ）的准线相切，则 =_13过 （ ）的焦点 的弦为 ， 为坐标原点，则 =_14抛物线 上一点 到焦点的距离为3，则点 的纵坐标为_15已知抛物线 （ ），它的顶点在直线 上，则 的值为_16过抛物线 的焦点作一条倾斜角为 的弦，若弦长不超过8，则 的范围是_17已知抛物线 与椭圆
6、 有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为_18抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于 ，过抛物线上一点 作 于 ，则梯形 的面积为_19探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点 处，如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_三、解答题1知抛物线 截直线 所得的弦长 ，试在 轴上求一点 ，使 的面积为392若 的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3已知 是以原点 为直角顶点的抛物线 （ ）的内接直角三角形，求 面积的最小值4若 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的 的坐标5一抛物线拱桥跨度为52
7、米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过6抛物线以 轴为准线，且过点 ，（ ）求证不论点 的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值7已知抛物线 （ ）的焦点为 ，以 为圆心， 为半径，在 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点 、 ， 为线段 的中点求 的值；是否存在这样的 ，使 、 、 成等差数列，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由8求抛物线 和圆 上最近两点之间的距离9正方形 中，一条边 在直线 上，另外两顶点 、 在抛物线 上，求正方形的面积10已知抛物线 的一条过焦点的弦被焦点分为 ， 两个部分，求证 11一抛物线型拱桥的跨度为 ，
8、顶点距水面 江中一竹排装有宽 、高 的货箱，问能否安全通过12已知抛物线 上两点 ， （ 在第二象限）， 为原点，且 ，求当 点距 轴最近时， 的面积 13 是抛物线 上的动点，连接原点 与 ，以 为边作正方形 ，求动点 的轨迹方程参考答案：一、1C；2C；3D；4B；5C；6B；7B；8D；9C10C；11B；12C；13C；14C；15C；16C；17B；18B；19C；20A；21D二、1；2；3；45；6 （在已知抛物线内的部分）7 或；8（4，2）；910；11；122；134142；150， ， ，；1617；18314；1936.2cm三、1先求得 ，再求得 或2 3设 ， ，则
9、由 得 ， ， ，于是 当 ，即 ， 时， 4抛物线 的准线方程为 ，过 作 垂直准线于 点，由抛物线定义得 ， ，要使 最小， 、 、 三点必共线，即 垂直于准线， 与抛物线交点为 点，从而 的最小值为 ，此时 点坐标为（2，2）5建立坐标系，设抛物线方程为 ，则点（26，6.5）在抛物线上， 抛物线方程为 ，当 时， ，则有 ，所以木箱能安全通过6设抛物线的焦点为 ，由抛物线定义得 ，设顶点为 ，则 ，所以 ，即 为椭圆，离心率 为定值7设 、 、 在抛物线的准线上射影分别为 、 、 ，则由抛物线定义得， 又圆的方程为 ，将 代入得 假设存在这样的 ，使得 ，由定义知点 必在抛物线上，这与
10、点 是弦 的中点矛盾，所以这样的 不存在8设 、 分别是抛物线和圆上的点，圆心 ，半径为1，若 最小，则 也最小，因此 、 、 共线，问题转化为在抛物线上求一点 ，使它到点 的距离最小.为此设 ，则 ， 的最小值是 9设 所在直线方程为 ， 消去 得 又直线 与 间距离为 或 从而边长为 或 ，面积 ， 10焦点为 ，设焦点弦 端点 ， ，当 垂直于 轴，则 ，结论显然成立；当 与 轴不垂直时，设 所在直线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，这时 ，于是 ，命题也成立11取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（26，6.5），（26，6.5），设抛物线型拱桥的方程为 ，则 ，所以 ，抛物线方程为 当 时， ，而 ，故可安全通过12设 ，则 ，因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，将 代入，得点 的横坐标为 （当且仅当 时取等号），此时 ， ， ， ，所以 13设 ， ，过 ， 分别作为 轴的垂线，垂足分别为 ， ，而证得 ，则有 ， ，即 、 ，而 ，因此 ，即 为所求轨迹方程