1、2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：1传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，15，叫做三角形数；把1，4，9，16，25，叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A16B25C36D492已知向量，则x=（）A2或3B1或6C6D23sin15+cos15的值为（）ABCD4在ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（）A2BCD5已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足+=且+m=，那么实数m的值为（）A2B3C4D56在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB
2、是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形7已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD8在ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）ABCD9如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内测得：CD=200m，ADB=ACB=30，CBD=60，则AB=（）A mB200mC100mD数据不够，无法计算10设a，b，c为三
3、角形ABC三边，a1，bc，若logc+ba+logcba=2logc+balog cba，则三角形ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定11设等差数列an满足： =1，公差d（1，0）若当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（）A（，）B（，）C，D，12已知点G是ABC的重心，且AGBG， +=，则实数的值为（）ABC3D2二、填空题：13已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为14已知平面上共线的三点A，B，C和定点O，若等差数列an满足： =a15+a24，则数列an的前38项之和
4、为15已知ABC，若存在A1B1C1，满足=1，则称A1B1C1是ABC的一个“友好”三角形，若等腰ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为16如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，A=120，E、F分别是边AB、AC上的点，且，其中m，n（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则|的最小值是；三、解答题：17已知A是ABC的内角，且sinA+cosA=，求tan（+A）的值18已知=（cos，sin），=（cos，sin），其中0（1）求证： 与互相垂直；（2）若k与k的长度相等，求的值（k为非零的常数）19已知数列an中的前n项和为Sn=，又an=log2b
5、n（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn20如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD=600km，CD=1200km，BC=500km，且ADC=30，BCD=113问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37=）21在ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根（1）求角C；（2）求实数p的取值集合22一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮
6、上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上请你通过计算，为房产商提供决策建议2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，15，叫做三角形数；把1，4，9，16，25，叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A16B25C36D49【考点】进行简单的合情推理【分析】根据题意观察归纳猜想出
7、两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果【解答】解：由题意可得三角形数构成的数列通项an=（n+1），同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，则由an=（n+1），令（n+1）=16，（n+1）=25与（n+1）=49，无正整数解，对于选项C，36=62，36=，故36既是三角形数又是正方形数故选C【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题2已知向量，则x=（）A2或3B1或6C6D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由得，代入坐标计算可解出x的值【解答】解：，即2（x5）+3x=0，解得x=2故选D【点评】本题考
8、查了平面向量的数量积运算，是基础题3sin15+cos15的值为（）ABCD【考点】二倍角的正弦【分析】把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用特殊角的三角函数值求解即可【解答】解：sin15+cos15=（sin15+cos15）=（sin15cos45+cos15sin45）=sin（15+45）=sin60=故选C【点评】考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式的逆运算化简求值，牢记特殊角的三角函数值4在ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（）A2BCD【考点】正弦定理【分析】根据等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由正弦定理和分式的性质
9、求出式子的值【解答】解：A，B，C成等差数列，2B=A+C，由A+B+C=得B=，b=，由正弦定理得， =2，=，故选：B【点评】本题考查正弦定理，等差中项的性质，以及分式的性质综合应用，属于中档题5已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足+=且+m=，那么实数m的值为（）A2B3C4D5【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用向量基本定理结合向量的减法有： =， =，代入化简即得【解答】解：由题意得，向量的减法有： =， =+m=，即+=m，+=m=m， +=（m+2）+=， +（m+2）=0，m=3，故选：B【点评】本小题主要考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义
10、等基础知识本题的计算中，只需将向量都化成以P为起点就可以比较得出解答了，解答的关键是向量基本定理的理解与应用，属于中档题6在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【考点】两角和与差的正切函数【分析】根据等差数列的通项公式求出tanA，tanB的值，结合两角和差的正切公式求出tanC，判断A，B，C的大小即可得到结论【解答】解：在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，设a3=4，a7=4，d=tanA，则a7=a3+4d，
11、即4=4+4tanA，则tanA=2，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，设b5=9，b2=tanB，d=2则b5=b2+3d，即9=tanB+32，则tanB=3，则A，B为锐角，tanC=tan（A+B）=1，则C=也是锐角，则这个三角形为锐角三角形故选：A【点评】本题主要考查三角形形状的判断，根据等差数列的通项公式求出tanA，tanB的值，结合两角和差的正切公式求出tanC的值是解决本题的关键7已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD【考点】两角
12、和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2x+）+，再根据2016，求得的最小值【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016）是函数f（x）的最大值显然要使结论成立，只需保证区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可又f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，故2016，求得，故则的最小值为，故选：D【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题8在ABC中，s
13、inA=，cosB=，则cosC=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系【分析】由B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a，根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再sinA，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用诱导公式得到cosC=cos（A+B），再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值【解答】解：B为三角形的内角，cosB=0，B为锐角，sinB=，又sinA=，sinBs
14、inA，可得A为锐角，cosA=，则cosC=cos（A+B）=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=故选A【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键9如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内测得：CD=200m，ADB=ACB=30，CBD=60，则AB=（）A mB200mC100mD数据不够，无法计算【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由题意可得ACBD设ACBD=O，可得OCD为等腰直角三角形，求得OC=OD的值，
15、BCO中，由直角三角形中的边角关系求得 OB的值，同理求得OA的值，再利用勾股定理求得AB的值【解答】解：如图所示，ADB=ACB=30，CBD=60，ACBD设ACBD=O，则AODBOC，OC=OD，OCD为等腰直角三角形，ODC=OCS=45设OA=x，OB=y，则AD=2x，BC=2y，OD=x，OC=yCOD中，由勾股定理可得3x2+3y2=40000，求得 x2+y2=，故AB=故选：A【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，属于中档题10设a，b，c为三角形ABC三边，a1，bc，若logc+ba+logcba=2logc+balog cba，则三角形ABC的
16、形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【考点】三角形的形状判断【分析】结合对数的运算性质，及换底公式的推论，可将已知化为：c2b2=a2，再由勾股定理判断出三角形的形状【解答】解：logc+ba+logcba=2logc+balog cba，+=2，即loga（cb）+loga（c+b）=2，loga（c2b2）=2，即c2b2=a2，故三角形ABC的形状为直角三角形，故选：B【点评】本题考查的知识点是三角形形状判断，对数的运算性质，难度中档11设等差数列an满足： =1，公差d（1，0）若当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（）A（，）B
17、（，）C，D，【考点】等差数列的通项公式【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围【解答】解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，sin（3d）=1d（1，0），3d（3，0），则3d=，d=由=对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，解得：首项a1的取值范围是故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题12已知点G是A
18、BC的重心，且AGBG， +=，则实数的值为（）ABC3D2【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数的值【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，AGBG，DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD22ADCDcosADC，BC2=BD2+CD22BDCDcosBDC，ADC+BDC=，AD=B
19、D，AC2+BC2=2AD2+2CD2，AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又+=，即=，=即故选B【点评】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理及应用，考查三角恒等变换，三角形的重心的性质，考查运算能力，有一定的难度二、填空题：13已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由等差数列的性质求得a1+a2 的值，由等比数列的性质求得b2 的值，从而求得的值【解答】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，a1+a2 =1+9=10数列1，b1，b2，b3，9是等比数列， =19，再由题意可得b2
20、=1q20 （q为等比数列的公比），b2=3，则=，故答案为【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题14已知平面上共线的三点A，B，C和定点O，若等差数列an满足： =a15+a24，则数列an的前38项之和为19【考点】数列的求和【分析】由向量共线定理可得a15+a24=1于是a1+a38=1代入求和公式得出答案【解答】解：A，B，C三点共线，a15+a24=1a1+a38=a15+a24=1S38=19故答案为：19【点评】本题考查了向量共线定理，等差数列的性质与求和公式，属于中档题15已知ABC，若存在A1B1C1，满足=1，则称A1B1C1是ABC的一个“友好
21、”三角形，若等腰ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为【考点】正弦定理【分析】由题意可得cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=C，则A=2，求得A1=2，可得tan2=1，再根据2（0，）可得2的值，从而求得的值【解答】解：由题意可得等腰ABC的三个内角A、B、C均为锐角，且cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=C，则A=2由于A1B1C1中，A1、B1、C1不会全是锐角，否则，有A+A1=，B+B1=，C+C1=，与三角形内角和矛盾故A1、B1、C1必有一个钝角，只能是顶角A1为钝角，C1和B1均为锐角故有 B1=，C
22、1=，A1=2再根据cosA=sinA1，可得cos（2）=sin2，即 sin2+cos2=0，即tan2=1，再根据2（0，）可得2=，=，故答案为：【点评】本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于中档题16如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，A=120，E、F分别是边AB、AC上的点，且，其中m，n（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则|的最小值是；【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先将向量用，表示，然后求向量，整理为关于n的二次函数的形式求最小值【解答】解：，= （1m）+（1n），m+2n=1， 2n+（1n），则，又AB=AC=2，A=120，
23、=|AB|AC|cos120=2=14，n（0，1）当n=时，7（7n24n+1）有最小值为于是3的最小值为故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用，考查二次函数的最值求法等知识，是中档题三、解答题：17已知A是ABC的内角，且sinA+cosA=，求tan（+A）的值【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA、cosA、tanA的值，从而求得tan（+A）的值【解答】解：由，得，则，又A是ABC的内角且sinA cosA0，则A为钝角则，由（1）和（2）得，则【点评】本题主要考查同角三角函数
24、的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于中档题18已知=（cos，sin），=（cos，sin），其中0（1）求证： 与互相垂直；（2）若k与k的长度相等，求的值（k为非零的常数）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】（1）根据已知中向量，的坐标，分别求出向量+与的坐标，进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系，可证得与互相垂直；（2）方法一：分别求出k与k的坐标，代入向量模的公式，求出k与k的模，进而可得cos（）=0，结合已知中0，可得答案方法二：由|k+|=|k|得：|k+|2=|k|2，即（k+）2=（k）2，展开后根据两角差的余弦公
25、式，可得cos（）=0，结合已知中0，可得答案【解答】证明：（1）由题意得： +=（cos+cos，sin+sin）=（coscos，sinsin）（+）（）=（cos+cos）（coscos）+（sin+sin）（sinsin）=cos2cos2+sin2sin2=11=0+ 与互相垂直解：（2）方法一：k+=（kcos+cos，ksin+sin），k=（coskcos，sinksin）|k+|=，|k|=由题意，得4cos（）=0，因为0，所以=方法二：由|k+|=|k|得：|k+|2=|k|2即（k+）2=（k）2，k2|2+2k+|2=|22k+k2|2由于|=1，|=1k2+2k+1
26、=12k+k2，故=0，即（cos，sin）（cos，sin）=0即coscos+sinsin=4cos （）=0因为0，所以=【点评】本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的坐标表示，模，夹角，熟练掌握平面向量数量积的坐标公式，是解答的关键19已知数列an中的前n项和为Sn=，又an=log2bn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据数列an=SnSn1的关系即可求数列an的通项公式；（2）先求出数列bn通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可【解答】解：（1）当n2时，当n=1时，也适合
27、上式数列an的通项公式为an=n（2）由 an=log2bn，得则数列bn是公比为2的等比数列，则数列bn的前n项和为：【点评】本题主要考查数列通项公式的求解以及前n项和的计算，根据an=SnSn1的关系求出数列的通项公式是解决本题的关键20如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD=600km，CD=1200km，BC=500km，且ADC=30，BCD=113问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37=）【考点】解三角形的实际应用【分析】在AC
28、D中使用余弦定理得出AC及ACD，在ABC中使用余弦定理得出AB及CAE，再在ACE中使用余弦定理得出CE及AEC【解答】解：连接AC，CE，在ACD中由余弦定理，得：，AC=600，则CD2=AD2+AC2，即ACD是直角三角形，且ACD=60，又BCD=113，则ACB=53，tan37=，cos53=sin37=在ABC中，由余弦定理，得：，则AB=500，又BC=500，则ABC是等腰三角形，且BAC=53，由已知有，在ACE中，由余弦定理，有，又AC2=AE2+CE2，则AEC=90由飞机出发时的方位角为600，则飞机由E地改飞C地的方位角为：90+60=150答：收到命令时飞机应该
29、沿方位角150的航向飞行，E地离C地480km【点评】本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于中档题21在ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根（1）求角C；（2）求实数p的取值集合【考点】两角和与差的正切函数【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x2+px+p+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件
30、的p的范围【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意，则有tanA+tanB=p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是ABC的内角，所以，则（2）在ABC中由（1）知，则，即tanA，tanB（0，1），则关于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，设f（x）=x2+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=，故其图象满足：，解之得：所以实数p的取值集合为【点评】本题考查的知识点是函数的零点，韦达定理（一元二次方程根与系数关系），两角和的正切公式，其中利用韦达
31、定理及两角和的正切公式，确定方程两个根的范围是解答的关键，属于中档题22一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上请你通过计算，为房产商提供决策建议【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出
32、答案；方案二：作POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在RtOBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在RtOAD中，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC=sin（2x+），由得所以当，即时按方案二：如图作POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE设，在RtMOE中，ME=Rsin，OM=Rcos在RtONH中，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2MEMN=2R2sin（cossin）=R2（sin2+cos2）=由，则，所以当，即时，即ymaxSmax答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题